Spécialité : problème

[Axelle]

Bonjour.

Je poste ce message car j'ai un grand besoin d'aide sur un problème de Spé, un peu hors programme d'ailleurs.
On s'intéresse aux fonctions multiplicatives définies de la façon suivante :
on dit que f est (faiblement) multiplicative si pour tout couple (n;m) d'entiers naturels non nuls avec PGCD(n;m)=1 on a f(nm)=f(n)*f(m).
Dans le problème, on pose g = ln (f) et on a donc PGCD(n;m) =1 implique que g(nm)=g(n)+g(m).

Soit A un entier supérieur ou égal à 2 et k > 0.
a) Montrer qu'il existe un unique entier j(k) vérifiant :
3^(j(k)-1) - (3^(j(k)-2) +...+1) < A^k +...+1 <3^j(k) - (3^(j(k)-1)+...+1) et déterminer l'expression de j(k) en fonction de A et k.
b) En déduire que k*g(A)<j(k)*g(3).

Voici mon début de recherche :
a) J'ai trouvé l'expression de j(k) il me semble, ça vaut :
partieentière de ln((2(A^(k+1)-1)/(A-1))/ln(3) si tout va bien (pardon pour les nombreuses parenthèses !).
Le seul problème c'est que je n'arrive pas à prouver l'existence et l'unicité de j(k). Pouvez-vous m'aider ?

b) Si mon expression de j(k) est correcte çà devrait aller. Le seule problème, c'est que je n'arrive pas à calculer g(3).

Merci par avance pour votre réponse.


Axelle

[SoS-Math(33)]

Bonjour Axelle,
pour l'unicité a tu pensé à un raisonnement par l'absurde?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Axelle,

J'ai commencé à réfléchir à ton problème, mais je n'ai pas encore de solutions ...
Cependant, ton j(k) est faux ... car j(k) doit être un entier et le tien n'est pas un entier (à moins que ln((2(A^(k+1)-1)/(A-1)) soit un multiple de ln(3) ...).
Voici une piste (bonne ?) : on peut poser A = 3q + r ....

SoSMath.

[Axelle]

Merci pour ces réponses !
Justement pour le j(k) je voulais prendre sa partie entière. Et aussi, je ne vois pas avec le 3q+r...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Axelle,

Effectivement, avec A = 3q+r, je n'ai pas trouvé de solution !
J'ai une autre idée : Pour tout nombre entier A, il existe p tel que \(3^{p-1}<A<3^{p+1}\).

Bon courage,
SoSMath.