Problème d'arithmétique

[Axelle]

Bonsoir.

Je fais appel à vous car je bloque sur un problème sur les nombres de Carmichael (et d'arithmétique en général).
Je vous donne tout de suite l'énoncé :

"1) Soit un entier m supérieur ou égal à 2. Soit k appartenant à Z. On suppose qu'il existe un entier l supérieur ou égal à 1 tel que k^l congru à 1 modulo m.
--> Montrer qu'il existe r appartenant à N* tel que pour tout i appartenant à N on ait : k^i congru à 1 modulo n <--> r divise i. (r est l'ordre modulo k de m)

2) Soit n un entier supérieur ou égal à 2, nombre de Carmichael. On veut montrer que n n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier.
Indication : raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe deux entiers p et q strictement positifs et p premier, tels que n=p^2*q, poser a = 1+pq.
a) Montrer que a^(n-a) congru à 1 modulo n (indication : exprimer (1+pq)(1-pq))
b) Montrer que p est l'ordre de a modulo n.
c) Conclure.

3) (Question qui n'a rien à voir avec les nombres de Carmichael mais qui est dans l'exercice) : soit a un entier supérieur ou égal à 2, montrer que pour tout k appartenant à N, on a :
PGCD(a ; a^k+a^(k-1)+...+1)=1."

J'ai vraiment du mal pour les premières questions et je ne sais pas du tout comment m'y prendre. Pourriez-vous m'indiquer des pistes de réflexion ?

Merci beaucoup par avance pour vos réponses.


Axelle B.

[sos-math(28)]

Bonsoir Axelle
Pour la première question, Considère l'ensemble E des nombres \(l\) tels que \(k^l \equiv1\ [m]\), cet ensemble n'étant pas vide (l'énoncé l'admet) il admet un plus petit élément. Il te reste à prouver que cet élément est bien ton nombre \(r\).
Bon courage

[Axelle]

Merci beaucoup, je n'y avais pas pensé !

[SoS-Math(31)]

A bientôt sur le forum.