Nombres complexes

[Invité]

Bonjour,

Voici l'énoncé :

r est l'application du plan lui-même qui, à tout point M d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' définie par
z'= ( (- 2/racine de 2 ) -( 2/racine de 2 ) ) z

1) Calculer un argument le module et l'argument de (- 2/racine de 2 ) -( 2/racine de 2 ) et reconnaitre r.

J'ai trouver r=1 et téta= -3pi/4

Mais je ne comprend pas : qu'est ce que r ??

Cécile.

[sos-math(12)]

Bonjour Cécile.

Tout d'abord ton énoncé présente certainement une erreur il me semble qu'il faut lire \(z^{,}=(\frac{-2}{\sqrt{2}}-i\frac{2}{\sqrt{2}})z\).

Attention de ne pas confondre le r (transformation de l'énoncé) et le r module du nombre \(\frac{-2}{\sqrt{2}}-i\frac{2}{\sqrt{2}}\).
Ton calcul du module n'est pas correct, mais celui d'un argument est correct.
Ensuite pour reconnaitre cette transformation : il faut se rapporter à ton cours. Celui-ci doit te donner l'expression d'une translation, d'une homothétie et d'une rotation. A toi d'identifier celle qui correspond à ton étude.
Tu peux aussi travailler avec les éléments invariants pour faciliter l'identification de la transformation étudiée.

Bon courage.

A bientôt.

[Invité]

Bonsoir

Enfait dans mon énoncé c'est écrit que z= ( - (Racine de 2) / 2 ) - (( Racine de 2 / 2)i) ) Je me suis trompée.
Alors est ce que mon module serait correct ?

r, la transformation serait alors une rotation ??

Merci, à bientôt. Cécile.

[sos-math(13)]

Bonsoir Cécile,

en effet, la transformation est bien une rotation.
Tu dois maintenant en déterminer le centre (l'affixe du centre) et l'angle pour la définir complétement.

A bientôt sur sos-math.

PS : pense à utiliser LaTeX pour écrire des formules, ça rend ton message beaucoup plus agréable.

[Invité]

Bonsoir,

La transformation est donc une rotation d'angle têta = -3pi /4 et de centre 0

Par la suite, on me demande de calculer z en fonction de z'. Puis en déduire x' et y'

L'énoncé précise aussi qu'il faut poser z = x + i y et z' = x' + i y' où x, y, x' et y' sont 4 réels

Je ne vois vraiment pas comment est ce qu'il faut proceder !

Et je suis désolé mais je ne sais pas ce que c'est Latex, pourriez vous m'en dire d'avantage ?

Merci beaucoup à vous.

Cécile.

[sos-math(13)]

Bonjour Cécile,

tes réponses sont correctes.

Pour exprimer z' en fonction de z, c'est assez facile avec la relation qui t'est donnée dès le départ.
Puis tu peux les écrire en notation algébrique (x+iy et x'+iy'), et enfin identifier d'une part les parties réelles entre elles, et d'autre part les parties imaginaires entre elles. Tu trouveras donc :
x' en fonction de x et de y
y' en fonction de x et de y

Mais d'ores et déjà, tu sais que M'(z') est l'image par la rotation \(r(O,\frac{-3\pi}{4})\) de M(z). Tu peux donc imaginer comment obtenir M(z) à partir de M'(z'). La transformation est aisément réversible.

Enfin, en ce qui concerne LaTeX (ou plus précisément TeX, ici), c'est un "langage" informatique qui permet d'écrire des mathématiques de façon plus agréable à l'oeil que le texte brut. Tu as en haut de ton message, lorsque tu rédiges, un bouton TeX, qui te place entre deux balises Tex ouvrante et fermante.
à l'intérieur, tu peux mettre du code. Par exemple

Code : Tout sélectionner

[TeX]\frac{3\pi}{4}[/TeX]

qui écrira \(\frac{3\pi}{4}\)

Comme le langage est un peu spécifique, il faut en connaître les bases. Pour ça, tu peux cliquer sur le lien en haut à droite du message que tu rédiges "Ecrire des mathématiques en TeX" qui te télécharge un tutoriel avec quelques exemples parmi les plus courants (une limite, un système, une intégrale, une fraction, ...) Ensuite, un copier-coller dans ton message, et tu peux adapter le contenu pour y mettre ce que tu veux. Attention, pas d'espace en TeX, sinon tu risques d'obtenir n'importe quoi.
Au début tu auras un peu de mal, mais ça vient vite.

\(\frac{see\,you\,soon}{sur\,sos-math}\)

Attention : les accents, ça passe mal...

[Invité]

Bonjour,

Je suis désolé mais je sais vraiment pas par où commencer...
Je pensais calculer z = ( e ^(i téta) ) z'
Mais est ce que celapourrait me mener à quelque chose ? avec z=x+iy et z'=x'+iy' ?

Je vous remercide de votre aide

J'essayerai de faire des effoorts pour latex

Merci, Cécile

[sos-math(13)]

Bonjour Cécile,

si z'=\(a\)z, alors z=\(\frac{1}{a}\)z', à condition que \(a\neq{0}\)

Ici, ton \(a\) est une exponentielle, ce qui tombe plutôt bien, non ?

Une fois que tu as réussi cette transformation, tu as :
x+iy=\(\frac{1}{a}\)(x'+iy')

Et en mettant \(\frac{1}{a}\) sous forme algébrique, puis en développant, tu dois pouvoir identifier les parties réelles et imaginaires des deux membres de l'équation.

Essaie déjà ça.

Bon courage.

[Invité]

Bonsoir,

Je ne comprend vraiment pas, on a donc x+iy=\(\frac{1}{e^{i\theta}}\)(x'+iy') c'est ca ?

& lorsque vous dite mettre sous forme algébrique.. Je pense que c'est cela : \(e^{i\theta}=cos(\theta)+{i}sin(\theta)\)
Equivalent à : \(e^{i\frac{-3\pi}{4}}=cos(-3\pi/4)+{i}sin(-3\pi/4)\) ???

Merci, Cécile

[sos-math(13)]

Bonsoir Cécile,

c'est très bien d'avoir fait un effort avec TeX. J'ai retravaillé ton message pour qu'il sorte correctement.
Le code est :

Code : Tout sélectionner

x+iy=[tex]\frac{1}{e^{i\theta}}[/tex](x'+iy')

pour x+iy=\(\frac{1}{e^{i\theta}}\)(x'+iy')

Code : Tout sélectionner

[tex]e^{i\theta}=cos(\theta)+{i}sin(\theta)[/tex]

pour \(e^{i\theta}=cos(\theta)+{i}sin(\theta)\)
et

Code : Tout sélectionner

[tex]e^{i\frac{-3\pi}{4}}=cos(-3\pi/4)+{i}sin(-3\pi/4)[/tex]

pour \(e^{i\frac{-3\pi}{4}}=cos(-3\pi/4)+{i}sin(-3\pi/4)\)

Continue à pratiquer et ça va venir très vite.

Bon courage.

[sos-math(13)]

Donc, en ce qui concerne le fond de ton message :
Le \(a\) dont je parlais est ton \(e^{i\theta}\)
Donc le \(\frac{1}{a}\) vaut \(\frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)

qui s'écrit aussi \(e^{i\times\(-\theta)}\).

après, dans la forme trigonométrique, c'est donc du \(-\theta\)

En n'oubliant pas que ton \(\theta\) vaut \(-\frac{3\pi}{4}\)

Bon courage.

[Invité]

J'obtiens donc : x+iy = \(\cos(3\pi/4)+{i}sin(3\pi/4)\) (x'+iy')

Cela répond donc à la question de l'énoncé " Calculer z en fonction de z'" ?

Est ce juste ?

De plus je ne vois pas comment deduire x et y ...

Merci beaucoup, Cécile.

[sos-math(13)]

Cela répond à la question, mais écrire simplement :
\(z=e^{\frac{3i\pi}{4}}z\)'
répondait déjà très bien à la question.

En écrivant \(e^{\frac{3i\pi}{4}}\) sous forme trigonométrique, tu as déjà franchi un cap, que dis-je, une péninsule !

En effet, ne connais-tu pas les valeurs exactes de \(cos(\frac{3\pi}{4})\) et de \(sin(\frac{3\pi}{4})\) ?

Ensuite, tu développes, et tu identifies les parties réelles et imaginaires. Et le tour est joué !

Encore un effort, tu y es presque.

à bientôt.

[sos-math(13)]

Une remarque au fait :

Par la suite, on me demande de calculer z en fonction de z'. Puis en déduire x' et y'

il s'agit de deux questions indépendantes. Car on n'a pas besoin d'écrire z en fonction de z' pour exprimer x' et y' en fonction de x et de y. On pouvait le faire dès le départ. Du coup, le "en déduire" me semble de trop. Ou tout au moins je n'en perçois pas l'intérêt...

[Invité]

Avec les valeurs je retombe sur les données de l'énoncé. Mais je ne vois pas comment identifier x et y, je ne vois pas...

Cécile.