tétraèdre trirectangle

[Invité]

Bonjour,
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine 0, onconstruit le tétraèdre OABC avec
A(2,0,0), B(0,2,0) et C(0,0,2). Pour tout point M du segment [AB], on construit le projeté orthogonal H du point O sur la droite (MC).
Objectif :trouver le lieu du point H et trouver les positions du point M pour lesquelles CH est maximale, minimale.

Réponse : à l'aide de Géospace, il semble que le lieu de H forme un arc de cercle et que CH est maximale quand M est au milieu de AB et minimale quand M=A ou M=B.

Preuve :
1) démontrer que vect(CM).vect(CO)=vect(CH).vect(CM)=CO*CO.

le projeté orthogonal de vect(CM) sur vect(CO) est vect(CO) d'où vect(CM).vect(CO)=CO*CO.
puis vect(CH)=vect(CO)+vect(OH) et comme vect(OH) et vect(CM) sont orthogonaux alors on a :
vect(CH).vect(CM)=vect(CO).vect(CM) = CO*CO

2) valider ou invalider les conjectures faites avec Géospace.

de la deuxième égalité, il résulte que CH*CM=C0*CO car vect(CH) et vect(CM) sont colinéaires de même sens. Donc CH est maximal quand CM est minimal c'est--dire quand M est au milieu de [AB], le triangle ABC étant équilatéral.
Et CH est minimal quan CM est maximal, c'est-à-dire si M est en A ou B.
Par contre je n'arrive pas à prouver que le lieu de H est un arc de cercle.
Pourriez-vous m'aider.
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(10)]

Bonjour,
Vous pouvez rendre le point M libre sur la droite (AB) et vous constaterez une information supplémentaire sur votre arc de cercle.
Par contre la démonstration est délicate. Avez vous étudiez les inversions en cours ?
sos math

[Invité]

Bonjour,
s'agit-il bien d'un arc de cercle de centre I, le milieu de [CG] et de rayon IG dans le plan ABC où G est l'isobarycentre de ABC ? Par contre je n'arrive pas en en argumenter la raison.
(Nous avons un peu parlé d'inversion à travers un exercice au préalable).
Merci pour votre aide.
Cordialement,
Cédric

[sos-math(13)]

Notons qu'au niveau terminale, comme l'a souligné sos-math(10), on pourra s'arrêter à une conjecture...

Ce sujet (le 062 des TP maths/Info en TS de juin 2008) était accompagné d'une fiche professeur indiquant clairement :

"Pour l’arc de cercle, on considère qu’un candidat qui, après un questionnement adapté́, peut dire sur quel cercle se déplace le point H a répondu aux attendus, même s’il n’en apporte qu’une « preuve graphique ». La question de la détermination rigoureuse de l’arc n’est pas au centre du problème".


Bon courage.

[Invité]

Bonsoir,
Merci pour vos précisions.
Mais mise à part la constation graphique que j'ai faite en rendant le point mobile sur [AB], existe-t-il une explication graphique simple (ou intuitive) à ce résultat à ma portée ?
Merci beaucoup.
cordialement,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cédric,

Je ne connais pas de solution graphique "simple" pour montrer ce résultat !
Cependant, puisque on fait la conjecture "le lieu est un rac de cercle", on peut alors essayer de trouver le centre du cercle ... On choisit trois points de cette arc, on obtiens donc deux cordes du cercle, alors le centre est l'intersection des médiatrices de ces 2 cordes.
Le choix des trois points peut se faire pour M en A, en B et au milieu de [AB].

SoSMath.