Etude de fonctions et d'une transformation

[Invité]

Bonjour, j'aurai besoin de votre aide.

J'ai une fonction f(x)= x + e (^-x).
Il est demandé d'étudier les limites.
J'ai un doute sur la limite en -00 (l'infini) :
lim x = -00 & lim e(^-x) = +00
J'en ai déduit qu'en -00 : lim f(x) = +00
Est ce que l'exponentielle l'emporte sur +00 ? ou est ce que c'est une forme indéterminée ?

Merci d'avance, Cécile.

[SoS-Math(8)]

Bonjour Cécile,

Tel que vous présentez les résultats, cela donne une forme indéterminée.
Il vaut mieux procéder ainsi:
Premièrement, effectuez un changement de variable: x=-X.
De cette façon cela revient à étudier la limite de \(-X+e^{X}\), lorsque X tend vers +infini.
Deuxièmement, mettre X en facteur.
Puis utiliser le fait que \(\lim_{X\to+\infty}{\frac{e^X}{X}}=+\infty\).

On obtient la même conséquence: \(\lim_{x\to-\infty}{f(x)}=+\infty\).

[Invité]

Je vous remerci de votre aide.

Jaurai encore plusieurs question car je n'arrive pas à faire mon étude de cette fontion f(x).
J'obtient une dérivée égale à 1/(e^-x) + 1 en faisant ce calcul :
f'(x)= (-1 . e(^-x)) +1
Je supprime les parenthèses.
f'(x)= -e(^-x)+1
Que J'ai donc transformer
1/(e^-x) + 1
f' est donc positive non ? par conséquent f sera croissante, ce qui 'est pas le cas puisqu'elle est décroissante puis croissante.

Cécile.

[sos-math(13)]

f'(x)= -e(^-x)+1
Que J'ai donc transformer
1/(e^-x) + 1

Ce qui donne le quotient est le "-" en exposant, pas celui qui est devant l'exponentielle.

Ton premier calcul est correct, mais pour le second, utilise la formule \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Et refait ensuite ton étude de signe.

Bon courage.

[Invité]

Ce qui donne le quotient est le "-" en exposant, pas celui qui est devant l'exponentielle.
Je ne comprend pas votre explication. de plus cette formule corespondrait-elle à e^(-x) = 1 / e(^x) ?

Cécile.

[sos-math(13)]

La formule que j'indique traduit ma remarque sur le "-".

Un exemple d'application :
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}\)
donc
\(-2^{-3}=-\frac{1}{2^3}\)

Tu dois essayer de transposer cet exemple à ton problème, qui est de même nature.

A bientôt.

[Invité]

Ce qui le donne donc une dérivée égale à f'(x) = - (1/ (e^x) ) + 1 ?

Cécile.

[sos-math(13)]

C'est ça : \(1-\frac{1}{e^x}\)

Dont il reste à étudier le signe.

Il y a donc encore du boulot...

[Invité]

A présent je ne sais plus comment continuer.

Merci, Cécile.

[sos-math(13)]

L'inéquation qui en résulte :
\(1-\frac{1}{e^x}<0\)
doit t'amener à isoler l'exponentielle.
Tu connais ensuite certaines propriétés de l'exponentielle qui doivent te permettre d'isoler \(x\) pour conclure.

A bientôt.

[Invité]

Je ne vois pas comment isoler l'exponentielle, je ne vois pas de formule.
De plus j'ai pensé continuer ainsi :
- 1/ (e^x) est inférieur ou égal à 1

Merci de votre aide. Cécile.

[sos-math(13)]

là déjà tu commences à l'isoler. C'est donc la bonne voie. Pousse un peu tes calculs. Le passage à l'inverse est intéressant. Mais quelle est son action sur l'inéquation ?

[Invité]

Le passage l'inverse, c'est à dire que - 1 / (e^x) inférieur à 1 reviendrait à faire - (e^-x) inférieur ou égal à 1 ?
Mais je ne vois pas l'intérêt.
Merci pour vos explications, Cécile.

[sos-math(13)]

Ce n'est pas tout à fait ça, car "passer à l'inverse" revient à appliquer à chaque membre la fonction inverse, dont tu sais qu'elle est décroissante sur \(R_-^*\) et décroissante sur \(R_+^*\).
Or appliquer une fonction décroissante dans une inéquation "renverse l'ordre"...

Quant à l'intérêt, il est de déterminer les valeurs de \(x\) qui rendent la dérivée négative. Ça serait pas mal !

[Invité]

Autrement dit, je multiple par l'inverse des 2 côtés ? c'est à dire multiplier par 1/x ?

Merci, Cécile.