équation différentielle

[Invité]

Bonjour
Je suis en terminal S et je n'arrive pas à commencer un exercice. Voici le début de l'exo et mes idées :
On note (S) le système différentiel : { y'= (1/20)y(10-y) y est une fonction définie sur R qui ne s'annule pas
1) On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur R et on pose z=1/y
a) Montrer que y est solution de (S) ssi z est solution de (S') où (S') est le système différentiel
{ z'= (-1/2)z + (1/20) z est une fonction définie sur R qui ne s'annule pas
---> j'ai dvlpé y' et j'ai trouvé y'=(1/2)y - (1/20)y² mais aprés je ne vois pas comment on peut faire.

b) résoudre (S') ----> ttes les sol st les fonctions f:x--->k.exp((-1/2)x)+(1/10)
c) En déduire que les solutions du système (S) st les fonctions x---> 10/ (10k.exp((-1/2)x) + 1) où k>=0.
je n'ai pas d'idées pour la c)

merci d'avance.
Juliette

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour la 1) :
Vous partez de z solution de S' ssi 1/y solution de S' ssi (1/y)' = 11/2(1/y) +1/20 etc.....
A vous de continuer
Votre solution de la 2) est juste.
Pour la 3) utilisez le 1) et 2)
y solution de S ssi 1/y solution de S' donc 1/y = ...........
Bon courage

[Invité]

Pour la 1) : z solution de S' ssi 1/y solution de S' ssi (1/y)'= (-1/2)(1/y) + (1/20)= (-10+y)/20y
donc ssi y'= 20y/(-10+y) mais d'après l'énoncé on a y'= (1/20)y(10-y)
Ai-je fait une erreur ?

merci de votre aide.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir
vous avez oublié que la dérivée de 1/y n'est pas égale à 1/y' !!
la dérivée de 1/y est - y' / y²
A vos crayons.