Spé maths Congruence

[Manon]

Bonjour,
Dans un exercice on me demande d'indiquer si une proposition est vraie ou non. Et je bloque sur une:
N=11^(2011)
"L'entier N est congru à 4 modulo 7"
J'ai noté que ceci signifie ça: 11^(2011)≡4 [7]. Donc 11^(2011)-4 doit être divisible par 7 si l'affirmation est vraie.
Je pense qu'il faut aussu que je décompose 2011 mais je ne sais pas si c'est juste. 2011=7×287+2

Merci pour votre aide

[SoS-Math(7)]

Bonjour Manon,

Je te propose de regarder de plus près les résultats des puissances de 11. Peut-être pourras-tu voir une particularité qui t'aidera à mettre en place ta démarche.

A bientôt.

[Manon]

Je remarque que 11^3≡1 [7]. Or 11^2011=[(11^3)^670]×11. Je ne comprends pas trop comment continuer..

[SoS-Math(31)]

Si a \(\equiv\) 1 modulo n alors \(a^{p}\equiv 1^{p}\) modulo n

[Manon]

Je pensais ne pas pouvoir utiliser cette formule car ici j'ai 11^3 et pas 11. J'élève à la puissance p 11^3 et 1 c'est ça avec cette formule?

[SoS-Math(31)]

11^3 congru à 1 donc (11^3)^p congru à 1^p donc 1 mais 11 ^4 congru à 11.
donc \(11^{3}^{p}*11\equiv 11\)

[Manon]

Très bien. Merci pour votre aide

[SoS-Math(31)]

Bon courage et peut-être bientôt Manon sur le forum