exponentielle

[Invité]

Bonjour,

donc j'ai un problème avec un exercice

énoncé: soit f(x)= xe^x/(e^x-1)
1.Donner lim x->0 (e^x-1)/x et démontrer que f est continue en O
2.Démontrer que pour tout réel x, on a e^x "supérieur ou égalé à" x+1, et que l'égalité n'a lieu que pour x = 0
3.Donner le tableau des variations de f.

donc pour 1. j'ai trouvé que la limite était égale à e^0 = 1 mais je ne comprends pas pour la continuité
2. si vous pouviez me donner une piste car je ne vois pas par ou commencer
3. j'ai trouvé que f'(x)= e^x(e^x-1-x)/(e^x-1)² > 0 (car du signe de e^x-1-x) donc que f est strictement croissante sur ]-00;0[ et ]0;+00[
mais sur ma calculatrice je vois que f est strictement croissante sur R. je ne comprends pas, y a-t-il une valeur interdite x=0 ou non ?

merci d'avance
Gabrielle

[SoS-Math(9)]

bonjour Gabrielle,

Pour la question 1), il faut utiliser f(x) = \(e^x\times\frac{x}{e^x-1}\).
Tu as alors le produit de deux limites de références ...
tu peux conclure que f est prolongeable par continuité en 0 et tu poses f(0) = 1 (limite que tu as trouvé)

Pour la question 2), tu peux par exemple étudier les variations de la fonction
h(x) = \(e^x-(x+1)\) pour en déduire son signe ...

Question 3). Ceci est normal, d'après ton résultat de la question 1).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

ok merci beaucoup ça m'a bien aidé =)

[SoS-Math(7)]

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