dérivabilité

[Invité]

Bonjour, dans un exercice calculant la somme des inverses des carrés, nous devons montrer que la fonction h définie sur l'intervalle ouvert 0, pi/2 par h(x)=sinx/ x est dérivable sur son intervalle de définition.
J'aimerais savoir si : h est composée de fonctions continues, dérivables sur cet intervalle convient.
D'autre part, si je cherche la limite du taux d'accroissement en pi/2, je devrais trouver -4/pi² mais je ne m'en sors pas, je n'arrive pas à changer l'écriture pour éliminer la FI.
Si je m'intéresse à h en 0, elle n'est pas définie, cela suppose t-il qu'on ne peut chercher une limite du taux d'accroissemnent en 0? Pourtant, on a une continuité et on peut prolonger par continuité en posant h(0)=1, puisje alors chercher une dérivabilité?
Sophie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

* h n'est pas la composée de fonctions continues, dérivables. Mais elle est le quotient u/v de fonctions continues, dérivables sur ]0, pi/2] et telles que v(x) n'est jamais nul sur ]0, pi/2].

* D'après ci-dessus, h est dérivable en pi/2, donc le taux d'accroissement n'est pas utile !

* Si on prolonge h en 0 par h(0) = 1, on peut alors se poser la question h est-elle dérivable en 0 ? Il faut alors calculer le taux d'accroissement en 0 et sa limite n'est pas simple à démontrer ...

SoSMath.

[Invité]

Merci pour ces éclairages,
j'ai compris la nuance composée et quotient avec bien sur la précision non-nul.

Le problème en pi/2 est levé mais si vraiment je cherche la limite du taux d'accroissement, comment procéder pour lever l'indétermination?

Et pour mon autre limite en 0, avez vous un éclairage à me proposer?

On me demandait la dérivabilité sur o,pi ouvert, dans le strict cadre de l'exercice, il n'est pas utile de justifier en pi/2 et 0?

Merci ...Sophie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Sophie,

Si tu travailles sur l'intervalle ]0, pi/2[, en principe tu ne te préoccupes pas de ce qui se passe en 0 et pi/2, sauf s'il y a des questions après ....

Pour calculer la limite en 0 et pi/2 du taux d'accroissement, il existe des méthodes mais elles sont hors programme !
Par exemple, une méthode consiste à encadrer le taux d'accroissement par deux fonctions qui ont la même limite, et d'en déduire la limite de ce taux avec le théorème des gendarmes.
Si tu veux essayer ...

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour, j'ai tenté pour la limite en 0 du taux d'accroissement avec un encadrement de sinx par x-x^3/6 et par x-x^3/6+x^5/120 puis j'ai reconstitué successivement mon taux d'accroissement et par les gendarmes, j'arrive à une limite de 0, c'est ça?
Pour pi/2, je n'ai toujours pas trouvé d'encadrement satisfaisant..pas d'idée?
Merci Sophie

[SoS-Math(9)]

Bonjour sophie,

C'est juste ! Cependant il faut prouver que ton encadrement \(x-\frac{1}{6}x^3\leq sinx \leq x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\) est vraie ...

On trouve bien 0 comme limite ... d'ailleurs graphiquement, on peut constater que la tengante est bien horizontale, donc f '(0)=0.

SoSMath.

[Invité]

Merci, je suppose qu'on peut justifier l'encadrement en faisant l'étude des fonctions formées par les différences.

Pas de conseil pour la limite en pi/2 du taux d'accroissement?

Le support graphique est effectivement toujours utile.
Etes-vous sur(e) de l'orthographe de votre mot "tangente"? Merci quand même

[SoS-Math(9)]

* Oui pour votre supposition !

* en pi/2 vous pouvez aussi essayer d'encadrer votre taux d'accroissement et déterminer sa limite en pi/2 ...

* Pour la "tangente", je suis désolé de ne pas être parfait ... mais heureusement vous ne fêtes jamais d'erreur !

SoSMath.

[Invité]

Bonsoir, je ne trouve pas d'encadrement satisfaisant, j'avais essayé en suivant votre conseil.
Pour l'orthographe, il ne s'agissait que d'une remarque sur un ton humoristik
Merci Sophie