convergence d'une suite "exponentielle"

[Invité]

Bonjour,
Soit f(x)=exp(-x) ; g(x)=x et d(x)=exp(-x)-x
1) faire une figure (pas de problème)représentant f et g
2)étudier les variations de d (pas de problème : sa dérivée est strictement négative donc d est strictement décroissante sur R)
3) montrer que d(x)=0 admet une unique solution a dans l'intervalle [0,1] (pas de problème : application du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction d strictement décroissante et continue sur [0,1] sachant que d(0)>0 et d(1)<0)
4)déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe de f et de g (pas de problème : A(a;a))

On considère la suite (Un) telle que U0=0 et U(n+1)=f(Un)
5) montrer que (Un) converge vers une limite L
6) montrer que L=a (pas de problème : sachant que f est CONTINUE sur R et par passage à la limite dans l'égalité en supposant (Un) convergente, on a :
L=f(L) c'est-à-dire que L=a)

MON SOUCI concerne la question 5) : j'ai essayé de voir si la suite est monotone et majorée ou minorée mais elle n'est pas monotone , je ne peux donc pas appliquer le théorème de convergence monotone ....
Pourriez-vous me donner une piste ?
Merci
Cordialement
Cédric

[SoS-Math(4)]

Bonsoir Cédric,

Tu as en tous cas déjà bien travaillé.

Je constate aussi que U n'est pas monotone.
La suite des rangs pairs est croissante et la suite des rangs impairs est décroissante, mais il faut le prouver. Si l'on peut prouver que ces deux suites sont adjacentes, donc de montrer que U(n+1)-U(n) a pour limite 0, tu auras montré que la suite de rang pair et celle de rang impair convergent vers la même limite, qui est aussi la limite de U.

C'est une piste, mais je suis étonné de ne rien voir de plus simple.

bon courage

sosmaths