limites

[Jade]

Bonjour

Je ne comprends pas ce que disent les théorème sur les opérations sur les limites; u et v st des suites; est ce lim(u+v)=limu+limv et limuv=limu limv ?

Merci de m'éclairer

[sos-math(13)]

Bonjour,

d'une manière générale, oui, c'est bien ce que disent ces théorèmes, c'est à dire des banalités...

Mais là où ils deviennent précieux, c'est lorsque le calcul n'est plus possible (ce qu'on appelle des "formes indéterminées").

Par exemple, si lim u = +inf et lim v = -inf, dire que lim (u+v)=lim u + lim v ne permet pas de conclure, car (+inf) + (-inf) : on ne sait pas ce que ça donne de manière générale.

On pourrait penser que ça donne 0. C'est parfois le cas.
Prenons les 3 exemples suivants :

EXEMPLE 1 :
u(n)=n² et v(n)=-n²
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Et comme (u+v)(n)=0, on a bien lim (u+v) = 0

EXEMPLE 2 :
u(n)=n² et v(n)=-n
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²-n=lim n² (terme prépondérant à l'infini) = +inf
Donc cette fois-ci on n'obtient pas 0 !!!

EXEMPLE 3 :
u(n)=n² et v(n)=-n²+1
On a bien lim u = +inf et lim v = -inf
Mais lim (u+v)(n)=lim n²+(-n²+1) = lim 1 = 1
Encore une fois, on n'obtient pas 0.

En résumé, on a obtenu, avec la même forme (+inf) + (-inf) trois résultats différents : 0, +inf, 1
Et on pourrait en obtenir encore d'autres.
Finalement, la forme (+inf) + (-inf) n'aboutissant pas toujours au même résultat, on l'appelle "forme indéterminée", et pour trouver la limite, on est obligé de changer de forme.

Bon courage.

[Jade]

Merci je comprends mieux.
Donc on a limu+limv=limu+v seulement quand ce n'est pas une forme indéterminée ???

Dans un exercice où on ne connaît pas les expressions de u et v on ne peut pas écrire limu+limv=limu+v car on ne sait pas si on est en présence d'une forme indéterminée ???

Merci d'avance

[sos-math(20)]

C'est bien cela, Jade.
Bonne journée.
SOS-math