au secours dérivabilité et continuité

[Invité]

bonjour,

je suis élève en TS ET j'ai des soucis sur cet exercice,est-ce que quelqu'un peut m'aider ?

f(X) = X^2 cos (1/X) et f(o) = o

montrer que f est continue sur R ?

est-ce que si X^2 ,cos X et 1/X sont continus sur R -(o) et que f(o)=o ca suffit pour dire que la fonction est continue sur R

montrer que f est dérivable sur R ?
X^2 ,cos X et 1/X sont dérivables sur R -(o) donc f aussi

lim (f(x)-f(o)) / (x-o) = (X^2 COS(1/X) -O) / x = x cos (1/X ) et là je suis bloquée ,comment montre t'on que la lim = o et donc que f'(o) = o ,j'ai essayé avec quand x tend vers o le théorème des gendarmes mais je n'y arrive pas !


montrer que f' est dérivable sur R ?

f'(x) =

u(x) = x^2 v(x) = cos (1/X)
u'(x) = 2X v'(x) = -sin(1/X ) / (x^2)

donc f'(x) = 2X Cos(1/X) - ( sin (1/X) /X^2 ) *X^2 = 2X cos (1/X) - sin (1/X)
meme chose ,sin ,cos ,x et 1/x dérivable sur R-(o) et on calcul taux de variation pour o ?

merci d'avance de votre aide
laure

[SoS-Math(2)]

Bonjour Laure,

est-ce que si X^2 ,cos X et 1/X sont continus sur R -(o) et que f(o)=o ca suffit pour dire que la fonction est continue sur R

NON

X^2 ,cos X et 1/X sont continus sur R -(o)

une fonction ne peut pas être continue sur un tel ensemble, revoyez votre cours.
Vous devez montrer que f est continue sur les intervalles ]-inf, 0[ et ]0, +inf[ puis montrer qu'elle est continue en 0 c.a.d que
\(\lim_{x\to\0}f(x)=f(0)\)

Pour la dérivée, votre démarche est correcte et vous devez effectivement utiliser le théorème des gendarmes soit en distinguant deux cas , x>0 et x<0 sachant que -1<=cosx<=1
soit en prouvant que 0<=|x cos(1/x)|<= |x|
Bon courage