spé math

[Invité]

Bonjour,
J'ai un exercice sur les nombres de Fermat; dans une question il fallait montrer que n+1<ou=à 2^n ,que j'ai réussi à faire puis en déduire que 2^n+1 divise 2^(2^n) c'est là que je ne vois pas ce qu'il faut faire et comment y arriver.

Plus loin dans l'exercice, on trouve que Fn( qui est (2^(2^n))+1) divise 2^(2^(2^n))-1 et on doit en déduire que Fn divise (2^Fn)-2 ,
je pense qu'en trouvant que 2^(2^(2^n))-1 divise (2^Fn)-2 ça fonctionnerais mais je ne sais pas comment arriver à cette conclusion.

Dans l'exercice suivant, il faut démontrer que 2^(2^n))est congrue à 6 modulo 10 en sachant que 2^4 est congrue à 6 modulo 10;je ne sais pas vraiment comment utiliser ce qu'on sait pour trouver ce que l'on cherche sans trop modifier le 6.

on sait ensuite que Fn est congrue à 7 modulo 10; si n est congrue à 3 modulo 4 alors Fn est congrue à 57 modolu 100.
je ne voit pas comment transformer le modulo 4 pour le trvailler en modulo 100 pour evidemment arriver à la solution.


louise

[SoS-Math(4)]

Bonjour louise,

1°) T u as montré que n+1 <= 2^n donc 2^n-(n+1)= p est un entier positif ou nul.

On peut alors écrire que : \(2^{2^{n}}=2^{n+1}\times 2^{(2^{n}-(n+1))}=2^{n+1}\times 2^{p}\)
or 2^p est un entier naturel, donc \(2^{2^{n}}\) est divisible par \(2^{n+1}\)

2°)Pour la suite tu calcules 2^Fn -2, en remplaçant Fn par sa valeur et tu fais attention en manipulant les exposants.

Tu dois trouver : 2^Fn -2 = 2( 2^(2^(2^n)))-1) et conclure

je te laisse faire tout ça. Pour la suite c'est encore des manipulations sur les exposants qui permettent de répondre.
bon courage
sosmaths

[Invité]

Merci pour les petites aides, elles m'ont tout de même bien servi !

Louise

[SoS-Math(4)]

pas de quoi, à bientôt

sosmaths