exercice

[melamie]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice :
un est la suite definie par u0=0 et pour tout entier naturel n un=2un+3 / un+4

1)demontrer que pour tout entier naturel n, un >0

2) on considere la suite (vn) definie par N par vn=un -1/ un +3
A)montrer que la suite (vn) est une suite geometriqud
b)en deduire l'expression de (vn) puis de (un) en fonction de n
C)determiner la limite de (vn) puis celle de (un)

j'ai commencer la question 1 :
initialisation : pour n=0 on a u1= 2 x 0 +3 / 0+4 =0,75 >0
la propriete est vraie au rang n=0

hypothese de recurrence : on suppose que pour un rang k >0 la propriete est vraie soit uk>0

heredite : uk>0 soit uk+1>1 soit 2uk+3 / uk +4 >1
apres je bloque

merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour Mélanie,

Ton initialisation ne convient pas, tu dois commencer à 0 : \(u_0 = 0\) et \(0 \geq 0\), avec tes calculs tu commençais à 1.

Ton hypothèse de récurrence est correcte, quels sont les signes de \(2 u_k + 3\) et de \(u_k + 4\) ? déduis-en le signe de \(u_{k+1}\).

Bonne continuation

[melamie]

Les deux sont positifs donc un+1 est positif

[SoS-Math(11)]

Tu peux donc conclure \(u_{k+1}\geq 0\).

Continue seule

[melamie]

Pour la question 2 a je fais un+1/un ?

[SoS-Math(11)]

Non, tu calcules \(v_{n+1}\) tu as \(v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}\) puis tu remplaces \(u_{n+1}\) par\(\frac{2 u_n + 3}{u_n-4}\).

Tu réduis au même dénominateur et tu simplifies il doit te rester une expression du type \(v_{n+1}=q\times v_n\).

Bon courage pour les calculs.

[melamie]

Jen suis a la question 2 b vous pouvez m'aider.?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mélanie,

Tu as \(v_n=v_0 \times q^n\)

Tu as aussi : \(v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}\) donc \(v_{n} \times (u_n+3) ={u_{n}-1}\) soit \(v_n \times u_n+ 3v_n=u_n+3\) donc \(v_n \times u_n - u_n =3-3v_n\) mets alors \(u_n\) en facteur et conclus.

Bonne continuation

[melamie]

Et pour les limites on trouve + l'infini ?

[melamie]

J'au essayer la question 2 a je trouve vn+1= 2un+3 -1/ un - 4 fois un - 4 +3 / 2 un + 3

c'est juste ?

[SoS-Math(11)]

Je n'arrive pas à lire ta réponse, il manque certainement des parenthèses. Mais cela me semble faux.

Pour les limites, une suite géométrique de raison q telle que \(0 < q < 1\) converge vers \(0\) ; si \(q > 1\) elle tend vers l'infini ; et si \(q= 1\) elle est constante.

Comme tu n'as pas trouvé pour v-n tu ne peux pas conclure.

Je vais donc te donner un indice : \(v_{n+1}= \frac{\frac{2u_n +3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n,+3}{u_n+4}+3}\).

Bon courage pour simplifier cette fraction

[melamie]

Je trouve. Vn+1 / vn = 2un +2 / 2un + 3 / un -1 / un +3

c'est juste ?

[SoS-Math(11)]

Je ne crois pas et en plus tu ne sais pas si \(v_n\) est différent de 0, donc tu ne peux pas diviser par \(v_n\) !

Utilise mon dernier message et commence par réduire au même dénominateur : \({\frac{2u_n +3}{u_n+4}-1}\) puis\({\frac{2u_n,+3}{u_n+4}+3}\).

Ensuite multiplie la première fraction obtenue par l'inverse de la seconde.

Bonne continuation

[melamie]

C'est deja le meme denominateur !!!!!k

[SoS-Math(11)]

Pas du tout \({\frac{2u_n +3}{u_n+4}-\frac{1}{1}}\) tu as \(u_n+4\) d'une part et 1 de l'autre, je ne vois absolument pas le même dénominateur.

Prenez du temps pour lire les messages et les comrendre puis en tenir compte pour avancer seule.