dérivabilité en 0

[Invité]

BONJOUR?
soit la fonction f telle que f(x)= (racine carrée de x)(exp(1-x)) définie sur l'ensemble des réels positifs.
Sachant la dérivabilité de la racine carrée sur l'ensemble des réels strictement positifs et la dérivabilité de exp sur R, il en résulte la dérivabilité de f sur l'ensemble des réels strictement positifs. Reste donc le problème de l'étude de la dérivabilité en 0.
Le taux d'accroissement de f en 0 vaut e/((racine carrée de x)(exp(x)) et sa limite est +infini en 0 donc f n'est pas dérivable en 0.
PREMIERE QUESTION :
Est-on obligé systématiquement de procéder comme précédemment (chercher la limite du taux d'accroissement de f en 0) ou peut-on suivre le raisonnement suivant :
la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 donc par produit avec exp qui l'est, f n'est pas dérivable en 0 (il me semble que c'est faux mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple)
Pourriez-vous m'aider ?
DEUXIEME QUESTION :
en étudiant le signe de la dérivée, j'en déduis que f est strictement croissante sur ]0; 1/2].
Comment puis-je en déduire proprement qu'elle est aussi strictement croissante sur [0 ; 1/2] ?

Mes questions sont un peu délicates et je tiens à vous remercier pour le temps et l'énergie que vous employez à chacune de mes nombreuses sollicitations pour m'apporter des réponses qui me font toujours avancer à grands pas.
MERCI BEAUCOUP,
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cédric,

Première question :
Etudie la dérivabilité (en 0) de cette fonction : f(x) = xR(x) où R(x) = racine(x).
f est définie en zéro et R(x) n'est pas dérivable en zéro, mais ...

Deuxième question :
On parle de variations sur un intervalle et non en un point !
Donc les variations de d'une fonction sur [a, b] sont les mêmes sur l'intervalle ]a, b[ !

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour,
Merci beaucoup pour la première question qui me convainc entièrement.
Par contre, je ne comprends pas la réponse à la deuxième :
" les variations d'une fonction sur [a, b] sont les mêmes sur l'intervalle ]a, b[ !"
En effet, par exemple si f est la fonction qui vaut 1 en 0 et x si x>0, f est strictement croissante sur ]0;10] par exemple mais pas sur [0;10].
Pourriez-vous alors me dire si la phrase suivante est correcte :
"les variations d'une fonction sur [a, b] sont les mêmes sur l'intervalle ]a, b[ si la fonction est CONTINUE sur [a;b]"
Merci beaucoup,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Si une fonction est croissante sur [a;b], alors elle est croissante sur tout intervalle inclus dans [a;b], donc sur ]a;b[.
Mais comme tu l'as montré avec ton exemple, la réciproque est fausse.
Par contre en ajoutant l'argument de la continuité, cela est juste.
Donc "Si une fonction est croissante sur ]a;b] et qu'elle est continue en a, alors elle est croissante sur [a;b]."

Bon courage,
SoSMath.