equation

[ali]

bonsoir,


Merci de m'aider à compléter la résolution de cette équation:

Montrer que l'équation E n'admet pas de solutions dans Q

\(2nx^2-2 (n^2+1) x-(n^2+1)=0\) , n entier strictement supérieur à zéro

Delta = \(4 (n^2+1)(n+1)^2 > 0\)

soient les 2 solutions possibles:

\(x=\frac{2 (n^2+1)+(-)2(n+1)\sqrt{n^2+1}}{4n}\)

après je suppose que x est rationnel donc il existe p et q entiers tq:

\(x_1=\frac {p}{q}\)

\(x_1= \frac {p}{q}=\frac{2 (n^2+1)+2(n+1)\sqrt{n^2+1}}{4n}\)

dans l'expression de \(x_1\), il y a sous le radical \(n^2+1\) qui n'est pas un carré parfait donc \(x_1\) n'appartient pas à Q .
idem pour \(x_2\)

Mais est ce suffisant pour conclure à une contradiction?

merci pour l'aide

[sos-math(27)]

Bonjour Ali,
Je pense que votre raisonnement est bon :
le calcul du delta est exact
Pour le raisonnement sur l'appartenance de x à Q, je pense que l'on peut le faire directement en utilisant votre remarque sur le fait que n²+1 n'est pas un carré parfait, et donc le radical ne pourra pas se simplifier. Ainsi x ne s'écrira pas comme un rapport de deux entiers.

Bonne continuation