Suites d'intégrales

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eleve86
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Suites d'intégrales

Message par eleve86 » dim. 9 mars 2014 13:14

Bonjour, l'exercice suivant me pose problème à partir de la question d). Voici le sujet :
Pour tout entier naturel n, on pose :
In=\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}sin(3x)dx\)

a) Calculer I0.
(J'ai trouvé I0=\(\frac{1}{3}\)).

b) Déterminer la dérivée de la fonction : f(x)=\(\frac{-1}{3}xcos(3x)+\frac{1}{9}sin(3x)\).
(J'ai trouvé f'(x)=\(xsin(3x)\)).

c) Calculer I1.
(J'a itrouvé I1=\(\frac{1}{9}\)).

d) Démontrer que la suite (In) est minorée.

e) Démontrer que la suite (In) est monotone.

f) Démontrer que la suite (In) est convergente.

g) Pour tout entier naturel n, comparer In à \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\).

h) Déterminer la limite de la suite (In).

Merci d'avance pour votre aide :) !
sos-math(21)
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Re: Suites d'intégrales

Message par sos-math(21) » dim. 9 mars 2014 15:42

Bonjour,
Sur l'intervalle \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{6}\rigth]\), la fonction \(f(x)=x^n\sin(3x)\) est positive donc son intégrale est .... donc \(I_n\) est minorée par ...
sur ce même intervalle \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{6}\right]\subset[0\,;\,1]\), on a \(x^{n+1}\leq x^n\) donc ....\(f_{n+1}(x)...f_n(x)\) donc \(I_{n+1}...I_n\)
Tu en déduiras la convergence avec un théorème du cours.
Bons calculs.
eleve86
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Re: Suites d'intégrales

Message par eleve86 » dim. 9 mars 2014 16:41

Merci de m'avoir répondu.
d) Sur l'intervalle \([0 ; \frac{\pi}{6}]\), la fonction \(f(x) = x^{n}sin(3x)\) est positive donc son intégrale est positive donc In est minorée par 0 ?
e) Et sur cet intervalle on a \(x^{n+1} \leq x^{n}\) donc fn+1(x) \(\leq\) fn(x) donc In+1 \(\leq\) In donc la suite est décroissante : elle est monotone.
f) Toute suite minorée et décroissante est convergente.
Merci pour ces questions :)) !
g) Pour comparer In à \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\) je dois étudier le signe de leur différence c'est bien ça ?
sos-math(21)
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Re: Suites d'intégrales

Message par sos-math(21) » dim. 9 mars 2014 18:30

Tu as bien utilisé mes aides, c'est très bien.
Pour la dernière question, je comparerais plutôt les fonctions, \(x^n...x^n\sin(3x)\), c'est assez facile et ensuite, par croissance de l'intégrale j'en obtiendrais une comparaison avec \([tex]\)\(I_n\)[/TeX].
Bonne étude.
Chloé

Re: Suites d'intégrales

Message par Chloé » dim. 9 mars 2014 18:53

Je comprends mieux ce que je dois obtenir, cependant je n'arrive pas à savoir comment est \(x^{n}\) par rapport à \(x^{n}sin(3x)\) ... Comment dois-je faire ? :$
sos-math(21)
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Re: Suites d'intégrales

Message par sos-math(21) » dim. 9 mars 2014 18:59

Tu sais que pour tout \(x\in\left[0\,\;\,\frac{\pi}{6}\right]\), donc \(3x\in\left[0\,\;\,\frac{\pi}{6}\right]\) et donc \(\sin(3x)\in[0\,;\,1]\).
Donc \(sin(3x)\leq 1\) donc en multipliant par \(x^n\geq 0\) de chaque côté...
Chloé

Re: Suites d'intégrales

Message par Chloé » dim. 9 mars 2014 20:02

Donc on a \(x^{n}sin(3x) \leq x^{n}\) donc \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}sin(3x)dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\) équivaut à In \(\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\).
Merci beaucoup !
Et enfin pour la question h) dois-je utiliser le théorème des "gendarmes" ?
sos-math(21)
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Re: Suites d'intégrales

Message par sos-math(21) » dim. 9 mars 2014 20:31

Je pense que tu as raison, car le calcul de \(J_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^n dx\) se fait bien et donne un nombre qui tend vers 0 quand \(n\to+\infty\).
Bonne conclusion.
Chloé

Re: Suites d'intégrales

Message par Chloé » dim. 9 mars 2014 20:34

Merci beaucoup de votre aide :) ! Bonne soirée
sos-math(21)
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Re: Suites d'intégrales

Message par sos-math(21) » dim. 9 mars 2014 20:51

Très bien.
Je verrouille le sujet.
Bonne continuation.
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