Constante d'Euler

[eleve86]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis bloquée à partir de la question 3 ; voici le sujet :
Pour tout entier naturel n, on pose :
Un=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)-ln(n).

1.Soit k un entier naturel non nul. Démontrer, en encadrant la fonction inverse sur l'intervalle [k ; k+1], que :
1/(k+1) ≤ intégrale de k à k+1 de (1/t)dt ≤ 1/k
En déduire que : 1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k.

2. Démontrer que la suite (Un) est monotone.
(D'après mes calculs, Un+1-Un ≤ 0 donc Un+1 ≤ Un. La suite (Un) est décroissante : elle est donc monotone.)

3. Établir pour tout entier naturel n ≥ 2, l'égalité :
Un=(1/n)+ somme pour k allant de 1 à (n-1) de ( (1/k)-ln(k+1)+ln(k) ).

4. Déduire des questions précédentes que la suite (Un) est convergente.

Merci de me donner un peu d'aide s'il vous plaît !

[sos-math(21)]

Bonjour, si tu pars de \(S_n=\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\ln(k+1)+\ln(k)=\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(k+1)+\ln(k)\)
On retrouve la somme des inverses des entiers et il y a cette somme :
\(\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(k+1)+\ln(k)=-\ln(2)+\ln(1)-\ln(3)+\ln(2)-\ln(4)+\ln(3)+....-\ln(n)+\ln(n-1)\) : c'est une somme télescopique, quasiment tous les termes se simplifient et il reste seulement...
Je te laisse conclure.

[eleve86]

Donc la somme pour k allant de 1 à (n-1) de( -ln(k+1)+ln(k) ) = -ln(n)
Donc Sn = (1/n)+1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n-1)-ln(n) = Un
Merciiiiiiiiiii beaucoouuuup pour votre aide, j'ai enfin réussiie ! :D

[sos-math(21)]

Tant mieux,
Bonne continuation