terminale S:équation différentielle

[Invité]

Bonjour

Voici un exercice que je n'arrive pas à commencer
On appelle E l'ensemble des fonctions numériques f définies,dérivables en ne s'annulant pas sur R qui vérifient,pour tout x de R, l'égalité f'(x)+2f(x)=(f(x))²
1) Soit f une fonction de E. Montrer que la fonction g définie par g(x)=1/(f(x)) est dérivable sur R et qu'elle vérifie une équation différentielle de la forme y'+ay=b. On déterminera les réels a et b.
2) En déduire que les fonctions de E sont de la forme x=2/(2ke^(2x)+1) où k\(\geq\)0.

Pourriez-vous m'aider à commencer cet exercice.
Pour la question je pense qu'il faut se servir de f'(x)+2f(x)=(f(x))² mais je ne vois pas comment faire

Merci beaucoup
A bientôt

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Pour commencer il faut démontrer que g=1/f est dérivable sur R : c'est évident (regardez les hypothèses de l'exercice).
Ensuite il faut montrer que g est une solution de l'équation différentielle :
y' + ay = b
Donc il faut montrer que g' + ag est une constante (la constante b) si a est bien choisi.
Pour cela il faut utiliser 2 choses :
- la première est la dérivée g' = ... en fonction de f et f' (puisque g = 1/f)
- la seconde est que f' = ... en fonction de f et f² (puisque f' + 2f = f²)

Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Je n'arrive pas à trouver g'.
Pouvez-vous m'aider.

Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Vous avez appris, j'espère, que la dérivée de \(f=\frac{1}{u}\) est ....
Donc vous pouvez en déduire que la dérivée de \(g=\frac{1}{f}\) est ....
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voilà ce que j'ai trouvé

On sait que les fonctions numériques f sont dérivables sur R donc la fonction g définie par g(x)=1/(f(x)) est dérivable sur R.
g'(x)=-((f'(x))/(f(x))²)
=-(((f(x))²-2(f(x)))/((f'(x))+2(f(x))))
=-(((f(x))²)/(f'(x)))-1
Est-ce le bon résultat?

Pour la suite, j'ai mis:
Si y'+2y=y² alors g'+ag=b et a=2;b=1
Faut-il rédiger comme ça?

A bientôt

[SoS-Math(5)]

Bonjour.
Deux réponses :
1) vous oubliez que si \(f\) s'annulait alors \(\frac{1}{f}\) aurait du mal à être dérivable ; donc vous oubliez de dire quelque chose.
2) Ce que vous écrivez est obscur (et peu lisible !!!) Il me semble que vous avez écrit que \(g'=-\frac{f'}{f^2}\) ce qui est juste. Puis vous avez écrit \(g'=-\frac{-2f+f^2}{f'+2f}\) ce qui est juste également, mais ne conduit pas à grand chose. Puis vous avez sans doute simplifié cela de manière incorrecte, et vous trouvez un résultat faux.
Donc il faut changer de méthode : on vous dit de montrer que \(g\) est solution de l'équa diff \(f'+2f=f^2\).
Donc pour savoir si c'est vrai, il faut calculer \(g'+2g\) puis calculer \(g^2\) puis voir si ces deux expressions sont égales.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Je suis toujours autant bloqué.
Avec la solution que vous me donnez il faut quand même calculer g'?
Je n'arrive pas du tout à calculer g'

[SoS-Math(5)]

Bonjour

Avec la solution que vous me donnez il faut quand même calculer g'. Je n'arrive pas du tout à calculer g'

Mais vous avez écrit vous même la réponse dans votre message précédent : \(g'=-\frac{f'}{f^2}\)
Bon courage !

[Invité]

Excusez-moi je croyais qu'il y avait une suite
Merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(5)]

Bon courage (parce qu'il y a encore des calculs à faire).
Mais je vois que vous avez compris la méthode.
A bientôt.

[Invité]

Merci beaucoup pour votre aide.
Je crois que je vais m'en sortir.
A bientôt

[SoS-Math(5)]

Merci de nous faire confiance.
Si vous "bloquez" sur un prochain DM revenez sur le forum SoS-Math !