Term S: étude d'une fonction exponentielle

[Invité]

Bonjour
Voici un exercice qui me pose problème
On considère la fonction f définie par f(x)=x-\(\frac{e^x-1}{e^x+1}\)=x-1+(2/(e^x+1))=x+1-((2e^x)/(e^x+1))
1) Trouver les limites de f en +l'infini et en -l'infini. Montrer l'existence de deux asymptotes à la courbe représentative de f. Préciser la position relative de la courbe et des asymptotes.

J'ai trouvé lim f(x) quand x tend vers -l'infini=-l'infini
lim f(x) quand x tend vers +l'infini=+l'infini
lim (f(x)-(x-1)) quand x tend vers +l'infini=0 donc y=x-1 asymptote oblique à Cf qui est au dessus de y=x-1 car 2/(e^x+1)>0
Je n'arrive pas à trouver lim (f(x)-(x+1)) quand x tend vers +l'infini=0 pour montrer que y=x+1 asymptote à Cf

Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt

[SoS-Math(6)]

Bonjour,

Voici une indication :
\(\frac{2e^x}{e^x+1} = \frac{e^x}{e^x} \times \frac{2}{1+\frac{1}{e^x}}\)

La détermination de l'asymptote en -l'infini devrait être plus aisé.
(En -l'infini, exp(x) tend vers 0 par valeurs positives, donc 1/exp(x) tend vers +l'infini...)

Bon courage

[Invité]

Bonjour
Je vous remercie pour votre aide qui m'a permis d'avancer dans l'exercice.

J'ai ainsi trouvé les limites de la fonctions et ses deux asymptotes. J'ai ensuite montré que la fonction est impaire et j'ai étudié les variations de f, puis j'ai tracé la courbe, comme on me le demandait.

Cependant je n'arrive pas à répondre à la dernière question: "Montrer
que l'équation f(x)=1 a une unique solution a. Déterminer un encadrement de a à 10^-2 près.

Pourriez-vous m'aider à finir cet exercice?
Merci beaucoup

[SoS-Math(8)]

Bonjour
Je vous remercie pour votre aide qui m'a permis d'avancer dans l'exercice.

J'ai ainsi trouvé les limites de la fonctions et ses deux asymptotes. J'ai ensuite montré que la fonction est impaire et j'ai étudié les variations de f, puis j'ai tracé la courbe, comme on me le demandait.

Cependant je n'arrive pas à répondre à la dernière question: "Montrer
que l'équation f(x)=1 a une unique solution a. Déterminer un encadrement de a à 10^-2 près.

Pourriez-vous m'aider à finir cet exercice?
Merci beaucoup

La fonction f est strictement croissante sur R, et par le biais limites:
lim en +infini=+infini et lim en -infini=-infini, on en déduit qu'il existe une unique valeur a telle que f(a)=1.
Puisque f(x) prend toute les valeurs de -infini à +infini