SOS-MATH

Bonjour,
je suis en term S, j'ai quelques problèmes pour résoudre un exercice. Voici l'enoncé :

Les suites (Un) et (Vn) définies par : \(\u_{0}\) = 3 , \(\v_{n}\) = 5/\(\u_{n}\) et \(\u_{n+1}\) = ( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )/2
On considère pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) > 0 et \(\v_{n}\) > 0
1) Démontrer que pour tt entier naturel n, \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = [1/(4\(\u_{n+1}\) )]*( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )²
En déduire que pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0
2) Prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante.
3) a) Démontrer que pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) \(\geq\) 5/3
b) Montrer que (Un) et (Vn) sont convergentes.
4) a) Calculer \(\lim_{n\to+\infty} Un\) et \(\lim_{n\to+\infty} Vn\)
b) Que peut-on dire de (Un) et (Vn) ?
c) Déduire que : 4935/2207 \(\leq\) \(\sqrt{5}\) tex]\leq[/tex] 2207/987

Mes réponses :
1) \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = (( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )/2) - (5/\(\u_{n+1}\) ) = ... = (( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )² -20) / (2( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )) je n'arrive pas à trouver l'égalité

Comme \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = (1/(4\(\u_{n+1}\) ))*( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )²
soit = ( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )² / (4\(\u_{n+1}\) )
Or ( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )² \(\geq\) 0
Or 4\(\u_{n+1}\) > 0 car Un > 0
Donc pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0

2) Pour prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante faut-il utiliser \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0 ou calculer \(\u_{n+1}\) - \(\u_{n}\) =... ET \(\v_{n+1}\) - \(\v_{n}\) =... ?

3) a) Comme \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0
alors \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
Or (Un) est décroissante
Alors \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{0}\)
\(\u_{n}\) \(\geq\) 5/ \(\u_{0}\)
\(\u_{n}\) \(\geq\) 5/3
b) (Un) est décroissante et minorée par 5/3 Donc CONVERGE.
(Vn) est croissante et \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
ainsi \(\u_{0}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
3 \(\geq\) \(\v_{n}\) Donc (Vn) est majorée et Donc elle CONVERGE.

4) a) Pour calculer les limites des 2 suites il faut utiliser le théorème suivant : f(l)=l
Mais il faut d'abord prouver que les suites sont continues ! Je ne vois pas comment on peut le montrer.
b) Je pense qu'elles vont être ADJACENTES.
c) je n'ai pour l'instant pas de piste.

Merci de bien vouloir m'aider. Virginie

Bonjour Virginie,

tout d'abord je suis désolé mais ton message est illisible !
Quand tu utilises "tex" pour écrire une suite, il y a une erreur pour la définir : il faut taper "u_{n}" et non "\u_{n}".

Peux-tu essayer de retaper ton text ?

SoSMath.

J'espère que cette fois ci le texte sera lisible :)

Les suites (Un) et (Vn) définies par : U(o)= 3 , Vn= 5/Un et Un+1= (Un+Vn )/2
On considère pour tt entier naturel n, Un> 0 et Vn> 0
1) Démontrer que pour tt entier naturel n, Un+1 - Vn+1 = [1/(4Un+1 )]*(Un - Vn )²
En déduire que pour tt entier naturel n, Un - Vn \(\geq\) 0
2) Prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante.
3) a) Démontrer que pour tt entier naturel n, Un \(\geq\) 5/3
b) Montrer que (Un) et (Vn) sont convergentes.
4) a) Calculer \(\lim_{n\to+\infty}Un\) et \(\lim_{n\to+\infty}Vn\)
b) Que peut-on dire de (Un) et (Vn) ?
c) Déduire que : 4935/2207 \(\leq\) \(\sqrt{5}\) \(\leq\) 2207/987

Mes réponses :
1) Un+1 - Vn+1= ((Un+Vn )/2) - (5/Un+1) = ... = ((Un+Vn )² -20) / (2( Un+Vn )) je n'arrive pas à trouver l'égalité

Comme Un+1 - Vn+1= (1/(4Un+1 ))*( Un - Vn )²
soit = ( Un - Vn )² / (4Un+1 )
Or (Un - Vn )² >= 0
Or 4 > 0 car Un > 0
Donc pour tt entier naturel n, Un - Vn >= 0

2) Pour prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante faut-il utiliser Un - Vn >= 0 ou calculer Un+1 - Un =... ET Vn+1 - Vn=... ?

3) a) Comme Un - Vn >= 0
alors Un >= Vn
Or (Un) est décroissante
Alors Un >= V0
Un >= 5/U0
Un >= 5/3
b) (Un) est décroissante et minorée par 5/3 Donc CONVERGE.
(Vn) est croissante et Un >= Vn
ainsi U0 >= Vn
3 >= Vn Donc (Vn) est majorée et Donc elle CONVERGE.

4) a) Pour calculer les limites des 2 suites il faut utiliser le théorème suivant : f(l)=l
Mais il faut d'abord prouver que les suites sont continues ! Je ne vois pas comment on peut le montrer.
b) Je pense qu'elles vont être ADJACENTES.
c) je n'ai pour l'instant pas de piste.

Merci Virginie , d'avoir recopié ton texte.

Question 1) Ton calcul est juste, il te reste plus à voir que 20 = 4 * 5 et 5 = \(n_{n}\)*\(v_{n}\) et que 2(\(u_{n}\) + \(v_{n}\)) = 4 \(u_{n+1}\).

Question 2) Oui tu peux utiliser \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\)
et en utilisant le résultat de la question 1) tu pourras conclure sur le signe de \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\).
De même pour la suite (vn).

Pour la question 3a), il faut faire un raisonnement par récurrence en utilisant le fait que vn est croissante donc vn >= v0 = 5/3.

4a) Remarque, les suites ne sont pas continues ...
Il faut exprimer \(u_{n+1}\) seulement en fonction \(u_{n}\) ... alors tu pourras associer une fonction f (qui sera continue) à ta suite. tu résolveras alors f(l) = l pour trouver l = \(\sqrt{5}\) (réponse évidente d'après la question suivante).

4b) il s'agit de faire un encadrement avec tes suites un et vn.

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour
Je vous remercie de m'avoir aidé, vos explications m'ont été utiles. Mais pour la 3)a) j'ai du mal à terminer le raisonnement par récurrence, voici le début de ma démonstration :

On suppose que Up \(\geq\) 5/3
On va montrer que Up+1 \(\geq\) 5/3

DEMO : Up \(\geq\) 5/3
Up+Vp \(\geq\) (5/3)+Vp
Up+Vp \(\geq\) (5/3)+(5/Up)=(5Up + 15 )/(3Up)
(Up+Vp)/2 \(\geq\) (5Up + 15 )/(6Up)
Up+1 \(\geq\) (5Up + 15 )/(6Up) Or on voulait Up+1 \(\geq\) 5/3

Merci d'avance. Virginie

Bonsoir,

Tu sais que V est croissante donc Vp>=V0 donc Vp>=5/3.
La deuxième ligne de ton raisonnement se poursuit donc ainsi: \(U_p +V_p \geq \frac{5}{3} +\frac{5}{3}\)

Je te laisse finir

sosmaths