Exercice sur les suites et démonstration par récurrence
Posté : ven. 31 oct. 2008 13:32
Bonjour, j'ai un exercie a faire et je ne comprends pas tout, j'espere que vous pourrez m'aider. voici le sujet :
1.
a) Calculez les 5 premiers termes de la suite \((\U_{n})\) définie par \(\U_{1} = \frac{1}{2}\) et pour tout entier naturel n non nul, \(\U_{n+1} = (\frac{n+1}{2n})\times\U_{n}\).
b) Démontrez par récurrence que \(\U_{n} = \frac{n}{2n}\)
2. k est un entier naturel non nul \((\V_{n})\) estla suite définie par \(\V_{1} = \frac{1}{k}\)et pour tout entier naturel non nul n, \(\V_{n+1} = (\frac{n+1}{kn})\times\V_{n}\).
Conjecturez l'expresion de \(\V_{n}\) en fnction de n et provez votre conjecture par récurrence.
Pour la question 1.a)
j'éprouve déjà quelques difficultées.
Pour moi :
\(\U_{2} = (\frac{(1/2)+1}{2+(1/2)})\times\frac{1}{2} = (\frac{3/2}{5/2})\times\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)
et \(\U_{3}, \U_{4}, \U_{5}\) se calculent de la même façon, est-ce juste?
Merci,
Florian
1.
a) Calculez les 5 premiers termes de la suite \((\U_{n})\) définie par \(\U_{1} = \frac{1}{2}\) et pour tout entier naturel n non nul, \(\U_{n+1} = (\frac{n+1}{2n})\times\U_{n}\).
b) Démontrez par récurrence que \(\U_{n} = \frac{n}{2n}\)
2. k est un entier naturel non nul \((\V_{n})\) estla suite définie par \(\V_{1} = \frac{1}{k}\)et pour tout entier naturel non nul n, \(\V_{n+1} = (\frac{n+1}{kn})\times\V_{n}\).
Conjecturez l'expresion de \(\V_{n}\) en fnction de n et provez votre conjecture par récurrence.
Pour la question 1.a)
j'éprouve déjà quelques difficultées.
Pour moi :
\(\U_{2} = (\frac{(1/2)+1}{2+(1/2)})\times\frac{1}{2} = (\frac{3/2}{5/2})\times\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)
et \(\U_{3}, \U_{4}, \U_{5}\) se calculent de la même façon, est-ce juste?
Merci,
Florian