SOS-MATH

Bonjour j'ai un dm a faire et j'aimeriez que vous me validiez mes réponses d'il vous plait, voici le sujet :
Parfois,pour démontrer que la proposition Pn+1 est vraie, il n'est pas suffisant de supposer que la proposition Pn est vraie. Il se peut que la démonstration nécessite le fait que Pn est vraie pour un certain nombre d'indices inférieurs ou égaux à n. L'hypothése de récurence est alors
<<P indice p est vraie pour tout p supérieur ou égale a n >>. Dans la première étape, on vérifie la propriété aux premiers rangs, en accord avec le nombre de proposition nécessaires pour démontrer Pn+1 dans la deuxième étape.

A. la suite Un est définie par U1= 1, U2= 3 et pour tout entier naturel n supérieure ou égale a 1,

Un+2=2Un+1 - Un

1.Calculer U3, U4, U5 et conjecturez l'expression de Un en fonction de n.
2.Démontrer cette conjecture par récurrence.

B. La suite Un est définie par U0=2/5 U1=1 et pour tout entier naturel n,
Un+2= 5Un+1 - 6Un

Demontrer que pour tout naturel n, Un= (2^n +3^n)/5


Partie A:
1.
U3=2*3-1=5
U4=2*5-3=7
U5=2*7-5=9

Un=2n-1

2.
Initialistation :
U1=2*1-1=1
U2=2*2-1=3

hérédité:
Supposons Pn est vraie pour tout n
calculons Un+1
Un+1 = Un+2 = 2n-1+2

euh voila je pense que le 2. est faux :s

Pouvez vous m'aider?
Merci
Florian

Bonjour,

Comment traduire, dans votre exercice, que la proposition est vraie au rang p ? au rang (p+1) ? au rang (p+2) ?

sos math

je ne comprends pas trop la :s
"Comment traduire, dans votre exercice, que la proposition est vraie au rang p ? au rang (p+1) ? au rang (p+2) ? "
il faut faire la recurence non?

Florian

Relisez votre sujet. Quel est l'objectif que l'on veut atteindre ?
Vous pouvez aussi retravailler les exemples de récurrence vus en cours.

sos math

oui c'est ce que j'ai fait en essayant de le démontrer au rang n+1, non?
peut etre que je me plante totalement =?

Bonjour,

La propriété est vraie au rang n veut dire Un = 2 n - 1 et au rang (n+1): \(\U_{n+1}\) = 2(n+1)-1.

sos math

a okay donc j'ecrit juste ca, je cherché une démonstration plus complexe lol

et comment fait on pour le
B. La suite Un est définie par U0=2/5 U1=1 et pour tout entier naturel n,
Un+2= 5Un+1 - 6Un

Demontrer que pour tout naturel n, Un= (2^n +3^n)/5

Initalisation
U1 = (2+3)/5 = 1
U2 = (2^2+3^2)/5 = (4+9)/5 = 14/5

hérédité
?

Bonjour,
pour B
vous devez d'abord calculer U2 puis montrer que (2^2+3^2)/5 = U2

Pour l'hérédité :
1) on suppose la proprité vraie jusqu'au rang n donc
\(U_n=\frac{2^{n}+3^{n}}{5}\) et \(U_{n-1}=\frac{2^{n-1}+3^{n-1}}{5}\)

Il faut montrer que \(U_{n+1}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{5}\)

Commencez par \(U_{n+1}=5 U_n - 6 U_{n-1} = 5\frac{2^{n}+3^{n}}{5} - 6 \frac{2^{n-1}+3^{n-1}}{5}\) = ....
N'oubliez pas que 6 = 2*3
Bon courage

je ne comprends pas trop, jai dévellopé ne mettant sur le meme denominateur mais je ne comprends pas le 6=2*3 a quel moment lutiliser?

Voici une autre aide :

Dans ton expression de \(U_{n+1}\) tu peux remplacer \(2^{n}\) par 2 \(\times\)\(2^{n-1}\) (de même avec \(3^{n}\)) puis factoriser \(2^{n-1}\) et \(3^{n-1}\) ...

Bon courage,
SoSMath.

j'ai fais le calcul et en résultat j'obtiens U(n+1)=4^(n-1)
c'est ce que vous touvez aussi?

Merci,
Florian

Bonjour Florian,

non tu ne peux pas trouver cela !

En effet tu veux prouver que \(U_{n+1}\) = \(\frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{5}\).

Recommence tes calculs :

\(U_{n+1}\) = 5\(U_{n}\) - 6\(U_{n-1}\) = ...

Remplace \(U_{n}\) et \(U_{n-1}\) par leur expression en fonction de n et termine les calculs.

Bon courage,
SoSMath.

Oula j'ai vraiment du mal :s
\(\U_{n+1} = 5 \U_{n}-6\U_{n-1}\)
\(=5\times(\2_{n}-1)-6\times(\2_{n-1}-1)\)
\(=\10_{n}-5-\12_{n-1}+6\)
\(=\10_{n}-\12_{n-1}+1\)

je ne comprend pas du tout :$

comment arrivé a une fraction??
pouvez me donner les 2premieres etapes svp?
merci
Florian

Bonjour,

sos math(2) vous avait donné les deux premières étapes en exprimant Un+1 en fonction des puissances de 3 et de 2 puis en écrivant que 6 est le produit de par 3.

Relisez le et utilisez le.

sos math