Le graphique ci-dessous donne dans un repère orthogonal, la courbe représentative T d'une fonction f définie sur [0 ; +∞[ et dérivable sur cet intervalle.
On précise que : l'origine 0 du repère appartient à T, la droite D passant par 0 et par le point B de coordonnées (1 ; 5) est tangente en 0 à T, la tangente au point A d'abscisse 2 de T est parallèle à l'axe des abscisses.
- graphique
a) Précisez f(0), f ' (0) et f ' (2).
f(0) = 0 , f ' (0) = 5 et f ' (2) = 0 car la tangente à la courbe représentative T au point d'abscisse A est parallèle à l'axe des abscisses.
b) Précisez le sens de variation de f, dressez son tableau de variation.
Cette fonction est positive sur l'intervalle [0 ; +∞[. F est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[.
Je ne sais pas du tout comment représenter cela en tableau de variation car nous n'avons pas de fonction à laquelle nous rapporter.
2. On suppose que la fonction f est définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = (ax + b)\(e^{cx}\), où a,b,c sont trois réels.
a) En utilisant f(0), calculez b.
f(0) = 0 <=> (a \(\times\) 0 + b)\(e^{c \times 0}\) = 0
(a + b)\(e^{c}\) = 0 (le deuxième terme est strictement positif donc il ne peux pas être égal à 0)
a + b = 0
b = - a = -1
b) Calculez f ' (x).
f(x) = (ax + b)\(e^{cx}\) est de la forme uv avec u(x) = ax + b , u ' (x) = a et v(x) = \(e^{cx}\) , v ' (x) = \(ce^{cx}\)
f ' (x) = a\(e^{cx}\) + (ax +b) \(\times\) \(ce^{cx}\)
= \(e^{cx}\) [a + ax + b] \(\times\) c
= \(e^{cx}\) [a²x+ b)] \(\times\) c
c) En utilisant f ' (0) et f ' (2), calculez a et c.
Je sais qu'il faut faire une double équation mais je penses m'être trompé dans le calcul de f ' (x) et je trouve des choses très incohérentes..