Bonjour,
Tu sais que \(\frac{1}{2^n}=(\frac{1}{2})^n\)
or tu connais la limite de \((\frac{1}{2})^n\) lorsque n tend vers l'infini( voir ton cours sur limite de q^n)
tu pourras donc conclure
sosmaths
Suite géométrique
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SoS-Math(4)
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Jean
Re: Suite géométrique
J'ai trouvé si q appartient à ]-1;1[ alors lim q^n=0
La limite du total de l'équation est donc 0
La limite du total de l'équation est donc 0
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
Bonjour,
Oui c'est cela, ta suite converge donc vers 0.
Bon courage pour la suite.
Oui c'est cela, ta suite converge donc vers 0.
Bon courage pour la suite.
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Jean
Re: Suite géométrique
Comment fait-on pour en déduire le sens de variation de la suite Un? (Le 5)
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
Bonjour,
tu as obtenu que \(U_n=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\) donc au rang n+1, on a \(U_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)\)
forme la différence \(U_{n+1}-U_n\) et cherche à factoriser pour montrer que cette différence est de signe constant (positif ou négatif)
Bon courage
tu as obtenu que \(U_n=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\) donc au rang n+1, on a \(U_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)\)
forme la différence \(U_{n+1}-U_n\) et cherche à factoriser pour montrer que cette différence est de signe constant (positif ou négatif)
Bon courage
-
Jean
Re: Suite géométrique
J'ai fait :
Un+1 = (nUn + 1)/(2(n1))
= (n(1+0,5puissance n) +1) / ( 2(n+1))
= (n +0,5n puissance n +1) / ( 2(n+1))
= (n+0,5puissance n) +1) / ( n(2n+1))
Un+1 - Un = (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (1 + 0,5 puissance n) / ( n)
= (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (1 + 0,5 puissance n)(2n+1) / ( n)(2n+1)
= (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (2n + 1 + 1n puissance n +1) / ( n)(2n+1)
= (n+0,5puissance n +1 - 2n - 1 - 1n puissance n -1) / (n)(2n+1)
= (-0,5n puissance n - n) / (n(2n+1))
Mais sa ne ressemble pas au résultat voulu
Un+1 = (nUn + 1)/(2(n1))
= (n(1+0,5puissance n) +1) / ( 2(n+1))
= (n +0,5n puissance n +1) / ( 2(n+1))
= (n+0,5puissance n) +1) / ( n(2n+1))
Un+1 - Un = (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (1 + 0,5 puissance n) / ( n)
= (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (1 + 0,5 puissance n)(2n+1) / ( n)(2n+1)
= (n+0,5puissance n +1) / ( n(2n+1)) - (2n + 1 + 1n puissance n +1) / ( n)(2n+1)
= (n+0,5puissance n +1 - 2n - 1 - 1n puissance n -1) / (n)(2n+1)
= (-0,5n puissance n - n) / (n(2n+1))
Mais sa ne ressemble pas au résultat voulu
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SoS-Math(25)
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Re: Suite géométrique
Bonjour Jean,
J'ai l'impression qu'il y a une erreur dans ta différence et la même dans \(U_{n+1}\) :
\(n(0,5^n) \neq (0,5n)^n\).
Il faut reprendre l'indication précédente :
"tu as obtenu que \(U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{n}\) donc au rang n+1, on a \(U_{n+1}=\frac{1+\frac{1}{2^{n+1}}}{n+1}\)."
Essaye de simplifier \(U_{n+1}-U_n\) en réduisant au même dénominateur : \(n(n+1)\) comme dans la question.
Bon courage !
J'ai l'impression qu'il y a une erreur dans ta différence et la même dans \(U_{n+1}\) :
\(n(0,5^n) \neq (0,5n)^n\).
Il faut reprendre l'indication précédente :
"tu as obtenu que \(U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{n}\) donc au rang n+1, on a \(U_{n+1}=\frac{1+\frac{1}{2^{n+1}}}{n+1}\)."
Essaye de simplifier \(U_{n+1}-U_n\) en réduisant au même dénominateur : \(n(n+1)\) comme dans la question.
Bon courage !
-
Jean
Re: Suite géométrique
Un+1 - Un = (1+(1/2n+1))/ (n+1) - (1+(1/2puissance n)) / (n))
= (1+(1/2n+1))(n)/ n(n+1) - (1+(1/2puissance n))(n+1) / (n)(n+1))
= (n+(n/2n+1))/ n(n+1) - (n+(n/2puissance n)+1+1/2n) / (n)(n+1))
= (n+(n/2n+1)) - n-(n/2puissance n)-1-1/2n) / (n)(n+1)
= ((n/2n+1) -(n/2puissance n)-1-1/2n) / (n)(n+1)
Mais c'est toujours pas le résultat demandé ...
= (1+(1/2n+1))(n)/ n(n+1) - (1+(1/2puissance n))(n+1) / (n)(n+1))
= (n+(n/2n+1))/ n(n+1) - (n+(n/2puissance n)+1+1/2n) / (n)(n+1))
= (n+(n/2n+1)) - n-(n/2puissance n)-1-1/2n) / (n)(n+1)
= ((n/2n+1) -(n/2puissance n)-1-1/2n) / (n)(n+1)
Mais c'est toujours pas le résultat demandé ...
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
Bonjour,
Il faut partir de l'expression de \(U_n\), comme je te l'ai dit :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{1+\frac{1}{2^{n+1}}}{n+1}-\frac{1+\frac{1}{2^n}}{n}\) on multiplie la première par n et la deuxième par n+1 pour avoir deux fractions de dénominateur n(n+1) :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}{n(n+1)}-\frac{(n+1)\left(1+\frac{1}{2^n}\right)}{n(n+1)}\) ce qui donne en développant :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n+\frac{n}{2^{n+1}}-n-1-\frac{n+1}{2^n}}{n(n+1)}\)
Je te laisse continuer, il faut arranger au maximum le numérateur pour pouvoir obtenir le signe de celui-ci (positif ou négatif)
Bon courage
Il faut partir de l'expression de \(U_n\), comme je te l'ai dit :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{1+\frac{1}{2^{n+1}}}{n+1}-\frac{1+\frac{1}{2^n}}{n}\) on multiplie la première par n et la deuxième par n+1 pour avoir deux fractions de dénominateur n(n+1) :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}{n(n+1)}-\frac{(n+1)\left(1+\frac{1}{2^n}\right)}{n(n+1)}\) ce qui donne en développant :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n+\frac{n}{2^{n+1}}-n-1-\frac{n+1}{2^n}}{n(n+1)}\)
Je te laisse continuer, il faut arranger au maximum le numérateur pour pouvoir obtenir le signe de celui-ci (positif ou négatif)
Bon courage
-
Jean
Re: Suite géométrique
Bonjour,
Donc j'ai fait :
Un+1 - Un= (-1+ (n/2n+1) - (2n+2/2n+1))/(n(n+1))
= (-1+ (-n-2/2n+1))/(n(n+1))
Sa m'énerve j'essaye mais je ne trouve pas
Donc j'ai fait :
Un+1 - Un= (-1+ (n/2n+1) - (2n+2/2n+1))/(n(n+1))
= (-1+ (-n-2/2n+1))/(n(n+1))
Sa m'énerve j'essaye mais je ne trouve pas
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
]On repart de ce qui a été dit dans mon premier message :
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n+\frac{n}{2^{n+1}}-n-1-\frac{n+1}{2^n}}{n(n+1)}=\frac{\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}-1}{n(n+1)}\) on met ensuite tout
au même dénominateur en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par 2 et en multipliant le 1 par \(2^{n+1}\) en haut et en bas :
On a donc : \(\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}-1=\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{2n+2}{2^{n+1}}-\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{\ldots}{2^{n+1}}\)
Je te laisse faire ce calcul tu dois trouver un numérateur dont il est facile de déterminer le signe et ensuite tu pourras conclure sur le signe de \(U_{n+1}-U_n\)
Bon courage
\(U_{n+1}-U_n=\frac{n+\frac{n}{2^{n+1}}-n-1-\frac{n+1}{2^n}}{n(n+1)}=\frac{\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}-1}{n(n+1)}\) on met ensuite tout
au même dénominateur en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par 2 et en multipliant le 1 par \(2^{n+1}\) en haut et en bas :
On a donc : \(\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}-1=\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{2n+2}{2^{n+1}}-\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{\ldots}{2^{n+1}}\)
Je te laisse faire ce calcul tu dois trouver un numérateur dont il est facile de déterminer le signe et ensuite tu pourras conclure sur le signe de \(U_{n+1}-U_n\)
Bon courage
-
Jean
Re: Suite géométrique
Donc,
C'est égal à (n-2(n+1+2puissance n))/(2n+1)
Comme -2(n+1+2puissance n)<0 donc Un+1 -Un < 0 , Un+1 < Un donc le sens de variation est décroissant.
C'est égal à (n-2(n+1+2puissance n))/(2n+1)
Comme -2(n+1+2puissance n)<0 donc Un+1 -Un < 0 , Un+1 < Un donc le sens de variation est décroissant.
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
Bonjour,
la conclusion est correcte mais tu ne peux pas affirmer que la différence est négative, tu n'as pris qu'une partie du numérateur !
En plus ta différence est fausse : revois mon calcul, je t'ai dit que tu as \(n-2n-2-2^{n+1}\) au numérateur donc cela fait \({-}n-2-2^{n+1}\) et cela, on est sûr que c'est négatif (somme de nombres négatifs).
Reprends cela.
la conclusion est correcte mais tu ne peux pas affirmer que la différence est négative, tu n'as pris qu'une partie du numérateur !
En plus ta différence est fausse : revois mon calcul, je t'ai dit que tu as \(n-2n-2-2^{n+1}\) au numérateur donc cela fait \({-}n-2-2^{n+1}\) et cela, on est sûr que c'est négatif (somme de nombres négatifs).
Reprends cela.
-
Jean
Re: Suite géométrique
Bonsoir,
c'est donc égal à C'est égal à (-n-2(1+2puissance n))/(2n+1)
Comme -2(1+2puissance n)/0 et -n<0 donc Un+1 -Un < 0 , Un+1 < Un donc le sens de variation est décroissant.
c'est donc égal à C'est égal à (-n-2(1+2puissance n))/(2n+1)
Comme -2(1+2puissance n)/0 et -n<0 donc Un+1 -Un < 0 , Un+1 < Un donc le sens de variation est décroissant.
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sos-math(21)
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Re: Suite géométrique
Oui c'est cela,
Bon courage pour la suite.
Bon courage pour la suite.