Calcul d'aire par encadrement
Posté : lun. 25 févr. 2013 19:20
Bonjour,
En refaisant des exercices, je n'en comprends plus la correction :
On définit une fonction f(x) = x^2 sur [0;1] = I
On divise l'intervalle I en n intervalles de meme amplitude. On note Bo, B1, B2,... Bn les points de l'axe Ox ayant pour abscisses 0,1/n, 2/n, ...1, tel que le point Bp a pour abscisse p/n. les points C0, C1, C2,...Cn ont les mêmes abscisses que les points B0, B1, B2,...,Bn
on definit Un comme la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 à n-1
Apres voir montré que Un = (1/n) x somme pour p allant de 0 à n-1 des (p^2/n^2), je dois montrer par recurrence que
Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\)
dans la demonstration par récurrence, en supposant Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\), je ne comprends pas ce que je dois démontrer, pourquoi est ce que je dois montrer que U\(\-{n+1}\)= (1/n^3)(\(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\)?
Dans le corrigé, il y a écrit que Un+1 = Un + \(\frac{n^2}{n^3}\), je ne comprends parce que je pensais que Un+1, c'était la somme des n+1 rectangles de largeur (1/n+1) donc j'aurai remplacé 1/n par 1/(n+1)
En refaisant des exercices, je n'en comprends plus la correction :
On définit une fonction f(x) = x^2 sur [0;1] = I
On divise l'intervalle I en n intervalles de meme amplitude. On note Bo, B1, B2,... Bn les points de l'axe Ox ayant pour abscisses 0,1/n, 2/n, ...1, tel que le point Bp a pour abscisse p/n. les points C0, C1, C2,...Cn ont les mêmes abscisses que les points B0, B1, B2,...,Bn
on definit Un comme la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 à n-1
Apres voir montré que Un = (1/n) x somme pour p allant de 0 à n-1 des (p^2/n^2), je dois montrer par recurrence que
Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\)
dans la demonstration par récurrence, en supposant Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\), je ne comprends pas ce que je dois démontrer, pourquoi est ce que je dois montrer que U\(\-{n+1}\)= (1/n^3)(\(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\)?
Dans le corrigé, il y a écrit que Un+1 = Un + \(\frac{n^2}{n^3}\), je ne comprends parce que je pensais que Un+1, c'était la somme des n+1 rectangles de largeur (1/n+1) donc j'aurai remplacé 1/n par 1/(n+1)