Calcul d'aire par encadrement

[eleve19]

Bonjour,
En refaisant des exercices, je n'en comprends plus la correction :

On définit une fonction f(x) = x^2 sur [0;1] = I

On divise l'intervalle I en n intervalles de meme amplitude. On note Bo, B1, B2,... Bn les points de l'axe Ox ayant pour abscisses 0,1/n, 2/n, ...1, tel que le point Bp a pour abscisse p/n. les points C0, C1, C2,...Cn ont les mêmes abscisses que les points B0, B1, B2,...,Bn

on definit Un comme la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 à n-1

Apres voir montré que Un = (1/n) x somme pour p allant de 0 à n-1 des (p^2/n^2), je dois montrer par recurrence que
Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\)
dans la demonstration par récurrence, en supposant Un = \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\), je ne comprends pas ce que je dois démontrer, pourquoi est ce que je dois montrer que U\(\-{n+1}\)= (1/n^3)(\(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\)?

Dans le corrigé, il y a écrit que Un+1 = Un + \(\frac{n^2}{n^3}\), je ne comprends parce que je pensais que Un+1, c'était la somme des n+1 rectangles de largeur (1/n+1) donc j'aurai remplacé 1/n par 1/(n+1)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
On te demande de calculer une certaine aire :
Je te donne un exemple pour que tu voies ce que cela signifie :

\(U_n\) est la somme des rectangles verts sur la figure. Pour un rang p donné, le rectangle vert a pour dimensions \(\frac{p+1}{n}-\frac{p}{n}=\frac{1}{n}\) et \(\frac{p^2}{n^2}\)
Donc on a comme aire \(\frac{1}{n}\times\frac{p^2}{n^2} =\frac{p^2}{n^3}\) donc si on fait la somme on a bien \(U_n=\sum_{p=0}^{n-1}\frac{1}{n}\times\frac{p^2}{n^2}=\frac{1}{n}\sum_{p=0}^{n-1}\frac{p^2}{n^2}\) car le \(\frac{1}{n}\) ne dépend pas de l'indice p, donc on peut le sortir de la somme.
Mais on peut aussi écrire que cette somme vaut aussi : \(\frac{1}{n^3}\sum_{p=0}^{n-1}p^2\)
C'est vrai les questions que tu te poses sur le passage du rang n au rang n+1 sont légitimes, je me pose les mêmes questions.
Pour ma part, je me contenterais de te demander de montrer par récurrence sur n : \(\sum_{p=0}^{n-1}p^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\) car je ne suis pas sûr que l'on puisse montrer la propriété avec les rectangles directement par récurrence.
La relation \(U_{n+1}=U_n+\frac{n^2}{n^3}\) ne me paraît pas correcte. Je tâche de vérifier...
Bon courage, démontre au moins ce que je te demande, ce qui te permettra de conclure quand même.

[eleve19]

Bonjour,
Pour démontrer ce que vous m'avez demandé, on peut montrer par récurrence que \(U_{n+1}\)= \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\)+\(n^2\)


Est-ce qu'on peut passer directement par récurrence au rang n+1 sans passer par cela?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec ce que tu proposes.
On est obligé de partir du rang n pour atteindre le rang n+1, c'est le principe même de l'hérédité, donc il n'y a pas d'autre moyen.
Il faut que tu intègres le \(n^2\) à la fraction en mettant tout au même dénominateur, que tu factorises ensuite par n et que tu "arranges" le deuxième facteur, de sorte que tu obtiennes (n+1)(2n+1)...
Bon courage