Probabilité

[Invité]

J'ai esseyé d'exprimer Xn et Zn en fonction Y , je trouve :

Xn=Xn-1+1/4Yn

Zn=Zn-1+1/4Yn

Je pense que vous attendez une autre réponse mais je ne vois pas très bien vers où vous voulez en venir

Et la somme d'une suite géométrique s'exprime : S= Xo [( 1-^q^n+1)/(1-q)]

Merci.

[SoS-Math(4)]

Remplacez Yn par \((\frac{1}{2})^{n}\)

La somme est inutile ici. De proche en proche, calculer X1, X2, X3...

sosmaths

[Invité]

je ne comprends pas car cela me donne les mêmes résultats que précedemment à savoir:
X1=1/8, X2=3/16, X3=7/32

[SoS-Math(4)]

Je n'avais pas vu ces résultats avant :

X1=1/8
X2=3/16
X3=7/32

On dirait que : Xn=\(\frac{2^n-1}{2^{n+2}}\)

Essayez de montrer celà par récurrence.

Sosmaths

[Invité]

initialisation : pour n=0 X0=0 et (2^0-1)/2^(0+2)=0 donc initialisation vérifiée .

propagation : on suppose que Xn=2^n-1/2^(n+2) . Démontrons que Xn+1=2^(n+1)-1/2^(n+3)

Xn+1=Xn+1/4*0.5^n
=2^n-1/2^(n+2)+1/4*0.5^n
= [ 4(2^n-1)+(0.5^n)*(2^(n+2)) ] / [ 4*2^(n+2) ]

et je ne retrouve le résultat que je voudrais démontrer . Merci

[SoS-Math(4)]

Pas de quoi, bonne fin de devoir.

sosmaths

[Invité]

Bonjour,

Excusez moi , mais pourriez vous m'expliquer mon erreur dans le calcul précédent ? Merci d'avance.

[SoS-Math(10)]

Bonsoir,
Ce calcul est delicat et il vaut mieux n'utiliser que des entiers. Vous pouvez alors remplacer \(0.5^n par 1/2^n\).

De plus Xn+1=Xn+1/4*1/2^(n+1).

En réduisant au même dénominateur, vous arriverez au résultat.

Bon courage

[Invité]

Bonsoir ,

je vais donc refaire le calcul. En revanche juste une toute derniere question ^^ Comment savoir ce qui se passe à long terme en trouvant le terme général de Xn et Zn?

Merci

[SoS-Math(4)]

bonsoir,

Il suffit alors de calculer les limites de Xn, Yn, Zn, lorsque n tend vers l'infini.

sosmaths

[Invité]

Donc cela donne :

limYn = 0 car 0 inférieur q=0.5 inférieur à 1
n td ver linfini

lim Xn =1/4 et il en est de même pour la limite de Zn car Zn = (2^n-1)/2^(n+2)
n td ver linfini

est-ce la bonne réponse ?Merci.

[Invité]

excusez moi mais en faisont mon calcul pour démontrer ma conjecture par récurrence je ne comprends pas pourquoi on a :

Xn+1 = Xn+1/4*(1/2)^(n+1) car en effet précédemment on a vu que Xn+1=Xn+1/4*(1/2)^n et non (n+1) . Merci beaucoup.

[SoS-Math(10)]

Bonjour,

les résultats de la limite sont valides. Cependant 0,5<1 ne suffit pas il faut -1 < 0.5 <1.
sos math

[SoS-Math(10)]

re bonjour,

C'est une subtilité du chapitre des suites.

si Xn=X n-1+1/4Y n alors Xn+1=X n+1/4Y n+1

sos math

[Invité]

Bonsoir ,

finalement ses limites nous montrent qu'à long terme les plantes tendent à devenir homozygote ?Merci