ln

[Stephane]

Bonjour,
voici l'énoncé : soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par : f(x) = -(lnx)² - 2lnx +xlnx
1- Déterminer la limite en 0 et en + l'infini
Ici pas de problème je trouve en 0 -oo et en + l'infini +oo
2 a) Déterminer la dérivée de f.
Je trouve f'(x) = (-2/x)lnx- 2/x+ 1+lnx
2b)Déterminer les variations de f.
Là je n'arrive pas du tout à déterminer le signe de f'(x).

Merci d'avance.
Stephane

[SoS-Math(9)]

bonjour Stéphane,

Tes réponses au questions 1 et 2a semblent justes.
Question 2b) : il réduire au même dénominateur, puis il faut factoriser le numérateur (je t'aide un des facteurs est (x-2)).
Ensuite un tableau de signe pour étudier le signe de f '(x).

Bon courage,
SoSMath.

[Stephane]

Je vous propose ma démarche :
f'(x) = (-2/x)lnx- 2/x+ 1+lnx
= (-2x/x²)lnx- 2x/x²+ x²/x²+(x²lnx)x²
Or pour tout x appartenant à R*+, x²>0
Le signe de f'(x) est donc du signe de -2x lnx -2x + xlnx = -2x (ln x +1 +(lnx)/-2)
Mais là je vois pas comment factoriser par (x-2). Me serais je trompé?
Merci d'avance pour une éventuelle indication

[Stephane]

Je crois avoir trouvé :
en fait on met tout sur x et on a donc (x-2) (ln x +1)
Le dénominateur est toujours positif sur R*+ donc on peut l'enlever.

[SoS-Math(9)]

Stéphane,

Oui pour ta factorisation, mais tu ne peux pas enlever le dénominateur ...
Tu peux seulement dire que f '(x) est du signe de (1 +ln x)(x-2) car le dénominateur est toujours strictement positif.

SoSMath.