Geométrie dans l'espace

[Invité]

Bonjour,

Je suis en train de faire un dm, mais je bloque à une question, dont voici l'énoncé :
L'espace est muni du repère othonormal (O, i, j, k) . On considère les points A (1; 0; 0), B(1/2; racine de 3/2; 0), et C (1/2; racine de 3/6; racine de 6/3).
Montrer que OABC est un trétraèdre régulier et calculer les coordonnées du centre de gravité G..

J'ai déjà démontrer que c'était un téraèdre régulier en calculant la longueur de chacun des côtés mais je ne sais pas comment on calcul les coordonnées de son centre de gravité G. C'est un tétraèdre régulier donc si je ne me trompe pas les coordonnées du centre de gravité correspondent aux coordonnées de l'isobarycentre de OABC mais je ne sais pas comment on les calcule..
Merci d'avance pour votre aide

Susie

[SoS-Math(4)]

bonjour,

Vous pouvez par exemple utiliser la définition vectorielle de l'isobarycentre G:
\(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

De cette manière, et avec la relation de Chasles, vous pouvez exprimez \(\overrightarrow{OG}\) en fonction de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\), et en déduire les coordonnées de G.
bon courage
SoS-Math

[Invité]

Bonjour,

Grace a votre aide j'ai pu trouver les coordonnées de G. mais je n'arrive pas à poursuivre, il faut désormais que je démontre que pour tout point M de l'espace :
MOcarré + MAcarré + MBcarré + MCcarré = 4MGcarré +GOcarré +GAcarré +GBcarré + GCcarré

ET pour cette question je n'ai absolument pas d'idée

Merci par avance pour votre aide

Susie