etude de fonction avec exponentielle

[Invité]

Bonjour,

J’ai un dm à faire pour mardi et je ne comprends pas plusieurs questions.
f(x) = (2e^x+1) / 3
g(x) = 8 / (2e^x-1)

il faut déterminer la limite de f(x) et de g(x) en + l’infini
pour f(x) j’ai trouvé + l’infini et pour g(x) j’ai trouvé 0 mais je ne suis pas sure

on désigne par (C) et (T) les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormal
déterminer par le calcul le point d’intersection I des courbes (C) et (T). et la je ne sais pas comment faire. est ce que vous connaissez une formule pour trouver le point d’intersection ?
déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0. Je ne sais pas non plus comment faire pour cette question.

g(x) = -8 + 16 e^x / (2e^x -1)
en déduire une primitive G de g sur [0 ; + l’infini[
grâce a la formule pr(u’/u²) = -1/u j’ai trouvé pr(2e^x / (2e^x-1)² = -1 / (2e^x -1)
et en la modifiant pour trouver g(x) j’ai trouvé -8x – 8 (racine de 2e^x -1) mais je ne suis pas du tout sure de moi

les fonctions f et g précédemment définies sont les fonctions d’offre et de demande de la vente d’un produit liquide sur un marché
f(v) est le prix de vente unitaire proposé par les producteurs du secteur pour un volume v de ce produit
g(v) désigne le prix de vente unitaire accepté par les consommateurs pour la même quantité v de ce produit
le volume v est exprimé en m^3 et les prix en milliers de francs

le prix p0 correspond à l’égalité entre l’offre et la demande, c’est le prix d’équilibre
déterminer le volume v0 correspondant du liquide arrondi à 10^-3 près, puis déterminer p0
j’ai résous l’equation f(v) = g(v) et j’ai trouvé v = ln(25/2) / 2 mais je ne sais pas combien vaut v0 et p0

merci d’avance. sophie

[SoS-Math(10)]

bonjour,

Vos limites sont justes.
Pour résoudre f (x) = g (x), il n'y a pas de formule. Comme on a des fractions, la réduction au même dénominateur ( ou "produit en croix ")va simplifier l'équation. De plus , on peut essayer d'avoir un 0 d'un coté de l'égalité.
Vous arriverez à une équation du type : \(a e^{2x} + b e^{x} + c = 0\) où a, b et c sont des réels. Puis on peut poser \(X = e^{x}.\)
Déterminer une équation de la tangente n'est que l'application d'une formule qui doit figurer moultes fois dans votre cours.
(y = f'(a) (x - a) + f(a).)
Pour la dernière question, vous pouvez tracer les courbes dans un même repère. En utilisant les questions précédentes, vous allez voir la réponse apparaître.

Bon courage

[SoS-Math(5)]

Bonjour Sophie

f(x) = (2e^x+1) / 3
g(x) = 8 / (2e^x-1)
on désigne par (C) et (T) les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormal
déterminer par le calcul le point d’intersection I des courbes (C) et (T). et la je ne sais pas comment faire. est ce que vous connaissez une formule pour trouver le point d’intersection ?

Il faut seulement comprendre (puis apprendre) que l'intersection s'obtient en résolvant l'équation \(f(x)=g(x)\) ; si cette équation admet une solution c'est l'abscisse du point que vous cherchez.
Si vous trouvez deux solutions c'est qu'il y a deux points d'intersection (donc deux abscisses) ...etc.
Compris ? Si vous voulez, je peux vous faire une figure.
A bientôt.

[Invité]

ah oui dsl j'avais oublié ces formules... merci.
j'ai essayé de resoudre cette equation avec les produits en croix et j'ai trouvé x= (2ln5-ln2)/2 mais je ne suis pas sure parce que quand je remplace ce resultat dans f(x) et g(x) je ne trouve pas qu'ils sont égaux.
j'ai tracé les courbes et en effet ça m'a aidé pour comprendre la question mais est ce qu'on peut trouver p0 et v0 par le calcul?

[SoS-Math(5)]

Bonjour Sophie
Refaite votre calcul, il y a un 2 en trop.
En effet, vous devez vérifier que \(f(x)=g(x)\) (et vous devez trouver qu'ils sont égaux).
A bientôt.

[Invité]

a oui merci. en effet je mettais tromper, en le refaisant j'ai trouvé que f(x)=g(x)

[SoS-Math(5)]

Très bien Sophie
Vous avez résolu correctement la bonne équation \(f(x)=g(x)\)
Pour trouver \(v_0\) il faut résoudre la même équation \(f(v)=g(v)\) !
Et pour le calcul de \(p_0\) c'est la valeur commune des prix unitaires.
Bon courage !