Besoin d'aide pour un DM

[Invité]

Bonsoir. Voilà j'ai un DM à rendre pour jeudi (on nous l'a donné aujourd'hui) et j'ai déjà réalisé 3 exercices. Seulement le dernier me pose vraiment problème. Il s'agit de la fonction réciproque. Pourriez vous m'aider, j'ai essayé plusieurs fois de le réaliser mais je n'arrive pas. De plus il est assez long mais je voudrais vraiment pouvoir le comprendre et le rendre. Merci beaucoup d'avance.

Le sujet est le suivant:

F est une fonction définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)= 1/(1+x²)
On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x). C est la courbe représentative de F dans un repère orthonormal.

1) G est la fonction définie sur R par:

G(x) = F(x)+F(-x)

a) Justifiez que G est dérivable sur R et calculez G'(x) pout tt réel x.
b) Calculez G(0° et déduisez-en que F est une fonction impaire.

2) H est la fonction définie sur I=]0; + l'infini[ par

H(x)= F(x)+F(1/x)

a) Justifiez que H est dérivable sur I et calculez H'(x) pour tt réel x dans I.
b) Démontrez que pour tout x dans I, H(x) = 2F(1)
c) déduisez-en que la limite de la fonction F en + l'infini est 2F(1)
d) Qu'en déduisez-vous de la courbe C?

3) T est la fonction définie sur ]-Pi/2; pi/2[ par

T(x)= F(tanx)-x

a) Calculez T'(x)
Qu'en déduisez-vous pour la fonction T?
b) Calculer F(1) (ca je devrais y arriver.... )XD

4) Dressez le tableau de variations de F sur R.



Merci beaucoup, cela me contrarie beaucoup de ne pas comprendre. Merci d'avance de votre aide! Votre site est super!!!

Ornella

[SoS-Math(10)]

bonjour Ornella

On vous demande de calculer 3 dérivés. Pour cela, vous avez besoin de la formule: (F(u))' = u' F'(u) où u est une fonction dérivable.
Avec u(x) = - x , il vient (F(-x))' = - F'(-x).

Ainsi, vous obtiendrez H'(x) = G'(x) = 0. Que dire alors de H et de G?

Bon courage

[Invité]

Bonjour. Merci pour cette aide.

J'ai cependant une question: pour justifier la dérivabilité des fonction, dire que la fonction est la somme de fonctions dérivables est-il suffisant?

Et je ne vois pas le rapport en G(0) et le fait qu'elle soit impaire. La symétrie de centre O peut-être mais je n'arrive pas à le rédiger.

Merci encore.

Ornella

[SoS-Math(10)]

bonsoir,
La somme, le produit et la composée de fontions dérivables donne une fonction dérivable.

G(x)=G(0)=0 pour tout x réel donc F(x)= - F(-x) ce qui veut dire que F est impaire.
Proceder de la même façon sur les autres parties

Bon courage