Bonjour,
Je suis en train de faire unDM à rendre pour la semaine prochaine mais je 'arrive pas à le terminer.. Voici l'énoncé :
On s'intéresse au nombre de solutions de l'équation (E): ln(x)=kxcarré selon les valeurs du réel k. Dans cet exercice on s'intéresse au cas où le réel k est strictement positif.
Soit la fonction fk définie sur ]0;+infini[ par fk(x)=kxcarré-ln(x)
J'ai d'abord dû étudier les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition et j'ai trouvé que sa limite était plus l'infini quand x tendait vers 0 et qu'elle était égalemnt de plus l'infini quand x tendait vers +infini.
Ensuite il a fallut que je détermine le tableau de variations de f. J'ai calculé la dérive (f'k(x)=k2x-1/x) et j'ai résolu l'inéquation k2x-1/x>0 et j'ai trouvé que la valeur absolu de x étalit égale à racine de (1/2k) pour que l'inéquation soie résolue...
J'ai donc une fonction fk(x) décroissante sur ]o; racine (1/2k) et croissante sur [racine de (1/2k); +infini[
Où je n'y arrive pas c'est por les deux questions suivantes, il faut que je donne la valeur exacte des extremums éventuels, mais comment faire, il y a k que je ne connais pas, je sais seulement qu'il est positif... Et il faut ensuite en désuire, selon la valeur de k, le nombre de solutions de l'équation (E). Pour cette question je pense utiliser le théorème de la bijection mais il faut pour cela que je connaisse les valeur de f(o) et de f(racine de (1/2k))...
Merci d'avance pour votre aide
Jamilia
Logarithmes et étude de fonctions
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SoS-Math(8)
SoS-math(8)
Bonjour,
Les limites sont exactes, ainsi que le tableau de variation.
Le minimum est donc atteint lorsque x vaut \(\sqrt{\frac{1}{2k}}\).
Il faut donc calculer \(f_k\left(\sqrt{\frac{1}{2k}}\right)\), ce qui correspond à \(\frac{1}{2}-ln\sqrt{\frac{1}{2k}}\), ce qui après quelques calculs donne: \(\frac{1}{2}\left(1-ln\left(\frac{1}{2k}\right)\right)\).
Il faut donc étudier le signe de \(1-ln\left(\frac{1}{2k}\right)\), ce qui toujours après quelques calculs donne:\(1+ln(2k)\)
L'équation (E) admettra des solutions que si \(1+ln(2k)<0\).
Inéquation à résoudre en utilisant le fait que \(-1=ln\frac{1}{e}\).
Bonne continuation.
Les limites sont exactes, ainsi que le tableau de variation.
Le minimum est donc atteint lorsque x vaut \(\sqrt{\frac{1}{2k}}\).
Il faut donc calculer \(f_k\left(\sqrt{\frac{1}{2k}}\right)\), ce qui correspond à \(\frac{1}{2}-ln\sqrt{\frac{1}{2k}}\), ce qui après quelques calculs donne: \(\frac{1}{2}\left(1-ln\left(\frac{1}{2k}\right)\right)\).
Il faut donc étudier le signe de \(1-ln\left(\frac{1}{2k}\right)\), ce qui toujours après quelques calculs donne:\(1+ln(2k)\)
L'équation (E) admettra des solutions que si \(1+ln(2k)<0\).
Inéquation à résoudre en utilisant le fait que \(-1=ln\frac{1}{e}\).
Bonne continuation.