term S= nombres complexes

[Invité]

Bonjour
Je n'arrive pas à traiter cet exercice
1) On considère les nombres complexes z=x+iy et z'=x'+iy' et les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et\(\overrightarrow{v'}\) d'affixes respectives z et z'. Montrer que \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{v'}\) sont colinéaires (z\(\overline{z'}\)-\(\overline{z}\)z'=0)
2) On considère les points A et B d'affixes respectives a et b. Montrer qu'une équation complexe de la droite (AB) est (\(\overline{b-a}\))z-(b-a)\(\overline{z}\)=a\(\overline{b}\)-\(\overline{a}\)b
3) On suppose que les complexes a et b sont de module 1. Justifier que \(\overline{a}\)=1/a et en déduire qu'une équation complexe de la droite (AB) est z+ab\(\overline{z}\)=a+b

1) J'ai remplacé z par x+iy et z' par x'+iy' dans l'expression z\(\overline{z'}\)-\(\overline{z}\)z'=0 mais je ne trouve pas 0. Je trouve 2ix'y-2ixy'. J'ai refais le calcul plusieurs fois mais je n'y arrive pas.

Pouvez-vous m'aider à continuer cet exercice?
Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Mais si, cela fait 0 car si les deux vecteurs \(\overrightarrow{V(x,y)}\) et \(\overrightarrow{V'(x',y')}\) sont colineaires, alors si \(\overrightarrow{V'}\neq\overrightarrow{0}\) il existe un réel \(k\) tel que \(x=kx'\) et \(y=ky'\)
On en déduit l'égalité des rapports \(\frac{x}{x'}\) et \(\frac{y}{y'}\) donc la propriété est vraie.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Je ne comprends pas très bien ce que vous voulez dire.
Peut-on faire quelque chose avec xy'=x'y pour montrer que les vecteurs sont colinéaires?

Encore merci pour votre aide

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
1) 2ix'y-2ixy' est factorisable par 2i.
2) De plus pour que deux vecteurs \(\overrightarrow{V}(x;y)\) et \(\overrightarrow{V'}(x';y')\) soient colinéaires, il est nécessaire que xy'-x'y soit nul.

Il faut maintenant conclure avec tout ceci.

Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voici comment j'ai procédé pour la question 1.
z\(\overline{z'}\)-\(\overline{z}\)z'=2i(x'y-xy')
Si x'y-xy'=0 alors z\(\overline{z'}\)-\(\overline{z}\)z'=0 et les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{v'}\) sont colinéaires.
Je ne sais pas si c'est bien comme ça ou s'il faut compléter.

Pour la question 2 voici ce à quoi j'ai pensé.
M appartient à (AB) donc \(\overrightarrow{AM}\)=z-a et \(\overrightarrow{AB}\)=b-a sont colinéaires
On peut donc écrire que (z-a)(\(\overline{b-a}\))-(\(\overline{z-a}\))(b-a)=0
Mais là je ne vois pas comment continuer

Merci pour votre aide
A bientôt

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Votre rédaction n'est pas la meilleure. Vous dites :
Si x'y-xy'=0 alors \(z~\overline{z'}-\overline{z}~z'=0\) et les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{v'}\) sont colinéaires.
Il vaudrait mieux dire :
Si \(z~\overline{z'}-\overline{z}~z'=0\) alors x'y-xy'=0 donc les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{v'}\) sont colinéaires.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Je vous remercie pour les rectification que vous avez apporté à ma rédaction.
Pouvez-vous m'aider pour la deuxième question? J'ai marqué ce à quoi j'ai pensé dans le message précédant mais je n'arrive pas à continuer.

Encore merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Pour résoudre la question 2, il faut utiliser les résultats de la question 1. ( c'est très souvent le cas dans les exercices ou problèmes de TS ou de bac, rappellez vous en)

La droite (AB) est l'ensemble des points M d'affixe z, tel que \(\overrightarrow{AM}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AM}\) a pour affixe z-a et \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe b-a.

Utilisez maintenant la formule de la première question.

SOSmath

[Invité]

Bonjour

En utilisant la formule de la première question je trouve que (z-a)(\(\overline{b-a}\))-(\(\overline{z-a}\))(b-a)=2a(z-b)
Mais je ne vois pas comment conclure que c'est égal à a\(\overline{b}\)-\(\overline{a}\)b

Merci
A bientôt

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Dans la formule de la première question, le second membre est nul. Je ne comprend pas d'ailleurs d'ou vient le second membre de votre égalité.
Refaites vos calculs.

Sos maths

[Invité]

Bonjour

J'ai trouvé où j'ai fais une erreur (mes calculs n'ont visiblement rien à voir avec ce qu'il faut faire).
J'ai aussi trouvé que l'équation complexe de la droite (AB) que l'on nous donne est nulle.
Mais malgré cela je ne vois toujours pas comment faire

Merci et à bientôt

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

Donnez moi le résultat que vous avez trouvé pour l'équation de (AB).

sosmaths

[Invité]

Bonsoir

En fait je n'ai pas trouvé d'équation de (AB) j'ai juste trouvé qu'en remplaçant a"barre" et b"barre" par leur opposé on trouvé a*b"barre"-a"barre"*b=0

Je ne sais pas si cela peut me permettre d'avancer

A bientôt

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,


\(\overrightarrow{AB}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AM}\) signifie que, d'après la première question :

(z-a)\(\overline{(b-a)}+\overline{(z-a)}(b-a)=0\)

C'est ce que vous avez écrit le 7 décembre dans un message.
Développer cette expression en tenant compte que \(\overline{(b-a)}=\overline{b}-\overline{a}\)
Vous devez obtenir l'expression demandée.
bon courage
SOSmaths