TS: centre de gravité

[Invité]

Bonjour
Je suis en terminale S et notre professeur nous demande de réaliser un exercice que je suis incapable de résoudre. Si vous pouvez me donner des idées se serait très gentil. Voici l'énoncé:

On construit à l'extérieur du triangle ABC les triangles rectangles isocèles en D, E et F BDC, CEA, AFB. Montrer que les triangles ABC et DEF ont le même centre de gravité.

J'ai fait une construction mais je ne vois pas comment faire la démonstration.

Merci et à bientôt

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
avez-vous pensé à résoudre avec des complexes?
Appelons a l'affixe de A, b celle de B etc ....
C est l'image de B par la rotation de centre D et d'angle pi/2 donc c-d = i ( b-d) et vous pouvez exprimer d en fonction de c et b
Faites de même pour e et f .( il suffit de permuter les lettres )
Soit G le centre de gravité de EDF alors g = (d+e+f)/3 et vous devez montrer que g = (a+b+c)/3
Bon courage (et la figure en cadeau).

[Invité]

Bonjour

J'ai commencé à rédiger l'exercice mais je n'arrive pas à conclure

Soit a,b,c... les affixes respectives des points A,B,C...
BDC triangle rectangle isocèle en D donc C est l'image de B par la rotation de centre D et d'angle \(\pi\)/2
donc b-d=e^(i\(\pi\)/2)(c-d)=i
On obtient de même c-e=e^(i\(\pi\)/2)(a-e)=i
et a-f=e^(i\(\pi\)/2)(b-f)=i
Soit G le centre de gravité du triangle ABC alors g=(a+b+c)/3
Soit G le centre de gravité du triangle DEF alors g=(d+e+f)/3

Je n'arrive pas à trouver la conclusion

Merci
A bientôt

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Vous faites une faute de calcul : puisque C est l'image de B par la rotation de centre D et d'angle \(\pi\)/2 donc on n'a pas du tout \(b-d=e^{i\frac{\pi}{2}}(c-d)=i(c-d)\)
mais on a \(c-d=e^{i\frac{\pi}{2}}(b-d)=i(b-d)\)
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

En rectifiant voilà les égalités que j'ai trouvé
c-d=e^(i\(\pi\)/2)(b-d)=i(b-d)
a-e=e^(i\(\pi\)/2)(c-e)=i(c-e)
b-f=e^(i\(\pi\)/2)(a-f)=i(a-f)
Ensuite j'en déduis que d(-1+i)=-c+ib donc d=(-c+ib)/(-1+i)
e(-1+i)=-b+ia donc e=(-a+ic)/(-1+i)
f(-1+i)=-b+ia donc f=(-b+ia)/(-1+i)
Mais je n'arrive ensuite pas à trouver que g=(d+e+f)/3=(a+b+c)/3

Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt

[SoS-Math(4)]

bonjour,

J'ai pris vos résultats pour d, e, f et j'ai calculé la somme d+e+f, et sans aucune difficulté( il y a une factorisation simple à la fin) je trouve a+b+c, ce qui prouve le résultat.
refaites donc votre calcul.

SOSmaths

[Invité]

Bonjour

Effectivement j'ai trouvé très facilement que d+e+f=a+b+c. Je n'avais pas pensé à mettre les "i" ensembles.
Pour la conclusion, j'ai trouvé:
a+b+c=d+e+f donc (a+b+c)/3=(d+e+f)/3
On peut donc conclure que les triangles ABC et DEF ont le même centre de gravité.

Encore merci pour votre aide qui m'a permis de finir cet exercice
A bientôt

[SoS-Math(4)]

A bientôt

sosmaths