Fonctions - variations et continuité

[Claire]

Bonjour,
Je bloque pour un exercice qui n'est pas trop détaillé, peut-être qu'en m'indiquant les différentes étapes à suivre, je comprendrais mieux l'exercice ...

Le voici :
Soit λ un réel strictement positif. Déterminer, suivant les valeurs du paramètre λ, le nombre de solutions dans l'intervalle [0 ; 2λ] de l'équation :
x^3-3λ²x+2 = 0

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[sos-math(16)]

Bonjour,

as-tu vu le théorème de la valeur intermédiaire, et le théorème de la bijection son corollaire ?

A toi

[Claire]

Bonjour,
oui nous avons étudié le théorème des valeurs intermédières et les conséquences de ce théorème.
Je pensais les utiliser mais je ne sais pas comment commencer l'exercice etc...

[sos-math(19)]

Bonjour Claire,

Pour commencer l'exercice, tu dois étudier les variations de la fonction f définie par \(f(x)=x^3-3\lambda ^2x+2\) sur l'intervalle [0;2\(\lambda\) ].

Bonne recherche.

sos-math

[Claire]

Bonsoir,
Voici mon développement :

f'(x) = 3x²-3λ²
= 3(x²-λ²)

Les racines sont : x1 = 1 et x2 = -λ²

entre - l'infini et -λ² => f'(x) est positive donc f est coirssante
entre -λ² et 1 => f'(x) est négative donc f est décroissante
entre 1 et + l'infini donc 2λ => f'(x) est positive donc f est croissante.

j'ai ensuite calculer les images de
f(-λ²) = (-λ²)^3 - 3λ²(-λ²) + 2
f(1) = -3λ²+3
f(0)= 2

ensuite je suis bloquée car sur [0;2 λ] f est décroissante et croissante et je ne sais pas comment continuer ...

[sos-math(19)]

Bonsoir Claire,

Ton calcul de dérivée est correct, mais il faut reprendre la détermination des racines et par conséquent tout ce qui suit.
Un conseil : factorise la dérivée complètement (tu as une identité remarquable).

Bonne suite.

sos-math