DM

[Pierre]

Bonjour,
J'ai un DM sur les polynômes, pouvez-vous vérifier certaines des réponses que j'ai apportées ? En vous remerciant.

1. On souhaite trouver trois nombres \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tels que \(a+b+c = 2\), \(ab+bc+ac = -5\), \(abc = -6\)

-Montrer que cela revient à calculer les racines du polynôme \(P\) défini par \(P(X) = X^3-2X^2-5X+6\)

Montrons que \(a,b,c\) sont les racines d'un polynôme \(P\), pour cela on peut considérer l'expression \((X-a)(X-b)(X-c)\) après développement on obtient \((X-a)(X-b)(X-c) = X^3-X^2(b+a+c)+(ac+bc+ab)X-abc = X^3 - 2X^2-5X+6\)

-Grâce au théorème de factorisation, répondre à la question initiale

En premier lieu \(1\) est une racine évidente de \(P\), ensuite il vient par le théorème de factorisation que \(X-2 | P(X)\), en effectuant la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) on obtient \(X^3-2X^2-5X+6= (X-1)(X^2-X-6)\), en calculant les racines de \(X^2-X-6\) on a \(r_{1} = -2\) et \(r_{3} = 3\) (ou toute autre permutation cyclique des racines trouvées), donc \(a=1\), \(b= -2\) et \(c=3\) car ce sont les racines de ce polynôme, réciproquement on vérifie que les valeurs trouvées conviennent.

2. Déterminer la forme factorisée de \(P(X) = 2X^3-7X^2+2X+3\), c'est à dire \(P = a(X- \alpha)(X - \beta)(X - \gamma)\)

-En premier lieu \(3\) est une racine évidente de \(P\) et son terme égal à son degré est \(a = 2\), on peut écrire d'après le théorème de factorisation \(P(X) = 2(X - 3)(X - \beta)(X - \gamma)\) en développant on trouve \(P(X) = 2X^3-X^2(2\gamma+2\beta+6) + (2\gamma \beta + 6\gamma +6\beta)X-6\gamma \beta\) ce qui donne encore
\(
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta + 6 &= 7 \\
2\gamma\beta + 6\gamma + 6\beta &= 2 \\
-6\gamma\beta &= 3
\end{eqnarray}\right.
\)

\(

\iff
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta &= 1 \\
6\gamma + 6\beta = 3
\end{eqnarray}\right.

\)

-On doit donc avoir \(\gamma + \beta = \dfrac{1}{2}\) ce qui donne \(\gamma\beta = \biggl( \dfrac{1}{2} - \beta \biggr)\beta = -\dfrac{1}{2}\) après développement et factorisation on obtient \((\beta - 1)(\beta + \dfrac{1}{2}) = 0\) ainsi soit \(\beta = 1\) soit \(\beta = \dfrac{-1}{2}\) de même pour \(\gamma\), on peut donc supposer sans perdre en généralité que \(\gamma = -\dfrac{1}{2}\) et \(\beta = 1\), donc le polynôme s'écrit finalement \(P(X) = 2(X-3)(X-1)(X + \dfrac{1}{2})\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes démarches sont tout à fait valides et tes réponses me semblent correctes mais la rédaction peut gagner en rigueur.
Peut-être devras-tu détailler la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) dans la première question.
Dans la deuxième question, la résolution du système sera à rédiger de manière plus rigoureuse car tu mets une équivalence entre deux systèmes qui ne le sont pas (tu dois garder l'équation \(-6\gamma\beta=3\) sinon, il te reste deux équations équivalentes donc une infinité de solutions).
Je te laisse le soin de reprendre la présentation, mais, mathématiquement, c'est du très bon travail.
Bonne continuation