étude de fonction

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jean

étude de fonction

Message par jean » lun. 27 nov. 2023 20:03

bonsoir. j'ai un exercice que je n'arrive pas à comprendre certaines parties.
soit g là fonction définie sur R*+ par g(x)=-1/x et f définie sur R*+ telle que : pour x appartenant à R*+, 0<f'(x)<1/x².
soit h la fonction définie sur R*+ par h(x)=g(x)-f(x).
1) montrer que la fonction h est strictement croissante sur R*+
2) démontre que pour tous x appartenant à [1;+∞[ , f(x)<1+f(1)-1/x
résolution.
1) pour cette question on sait que g'(x)=1/x² donc g'(x)>0 d'où g est strictement croissante sur R*+ de plus f'(x)>0 donc f est strictement croissante en conclusion h est strictement croissante sur R*+.
pour cette première question je ne sais pas trop si j'ai appliqué la bonne démarche.
c'est arrivé à la deuxième question que je t'attone un peu.
SoS-Math(35)
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Re: étude de fonction

Message par SoS-Math(35) » mar. 28 nov. 2023 19:28

Bonjour,

pour la question 1) , il serait mieux de commencer avec 0<f'(x)<1/x² ( donnée de l'énoncé)
puis d'en déduire l'encadrement de f'(x) - 1/x² qui est égal à f'(x) - g'(x).
Or on sait que h' = g' - f'. Il te reste donc à en déduire le signe de h' donc la monotonie de h.

Question 2) , peux tu nous faire part de te recherches?

A bientôt sur le forum.

Sos math.
jean

Re: étude de fonction

Message par jean » mar. 28 nov. 2023 21:22

bonsoir. pour la question 1 ona.
f'(x)<1/x
-f'(x)>-1/x
g'(x)-f'(x)>g'(x)-1/x or g'(x)=1/x donc
g'(x)-f'(x)>0 donc h'(x)>0 d'où g est strictement croissante
pour la deuxième question je n'arrive pas trop à comprendre cette partie là
SoS-Math(35)
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Re: étude de fonction

Message par SoS-Math(35) » mer. 29 nov. 2023 15:44

Bonjour,

Tu donnes deux infos différentes dans ton énoncé et dans ta résolution.

f '(x)<1/x ou f '(x)<1/x² ?

S'il s'agit de la première donnée, pour la question 2) , il me semble que tu peux travailler à partir de l'inégalité des accroissements finis.

Sos Math
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