bonsoir.
montre à l'aide de l'inégalité des accroissement fini que
Pi/2-(2*x)<Cos(x)/Sin(x)-1<Pi/4-x. x∈[π/4; π/2]
je n'arrive pas à comprendre comment commencer l'exercice j'ai même du mal à choisir une fonction pour pouvoir appliquer la formule
inégalité des accroissement fini
-
SoS-Math(25)
- Messages : 1850
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: inégalité des accroissement fini
Bonjour,
Je pense que les inégalités sont larges dans ton exercice (si x = Pi/4 ...) ou que l'intervalle est ouvert.
Soit donc \(x \in [\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\)
Une idée peut être d'appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(f(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\) entre \(a = \frac{\pi}{4}\) et \(b=x\).
1) Vérifier que cette fonction est continue sur \([\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\) et dérivable sur \(]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)
2) Déterminer f'(a) et f'(b) = f'(x)
3) Déterminer deux valeurs adéquates m et M telles que \(m \leq f'(x) \leq M\) pour tout \(x \in ]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)
4) Conclure avec un encadrement issu de l'inégalité des accroissements finis.
Bon courage
Je pense que les inégalités sont larges dans ton exercice (si x = Pi/4 ...) ou que l'intervalle est ouvert.
Soit donc \(x \in [\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\)
Une idée peut être d'appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(f(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\) entre \(a = \frac{\pi}{4}\) et \(b=x\).
1) Vérifier que cette fonction est continue sur \([\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\) et dérivable sur \(]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)
2) Déterminer f'(a) et f'(b) = f'(x)
3) Déterminer deux valeurs adéquates m et M telles que \(m \leq f'(x) \leq M\) pour tout \(x \in ]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)
4) Conclure avec un encadrement issu de l'inégalité des accroissements finis.
Bon courage
-
Jean
Re: inégalité des accroissement fini
bonjour. pour la dérivé de la fonction j'ai trouvé f'(x)=-1/sin²(x) et f'(a)=-2
maintenant j'ai du mal a encadrer la dérivé pour trouver les deux nombres réels M et m
maintenant j'ai du mal a encadrer la dérivé pour trouver les deux nombres réels M et m
-
SoS-Math(35)
- Messages : 152
- Enregistré le : lun. 7 nov. 2022 09:59
Re: inégalité des accroissement fini
Bonjour,
je suis d'accord avec ta dérivée et pour le calcul de f (π/4).
Pour encadrer f' sur l'intervalle, tu dois travailler avec la fonction sin sur cet intervalle. commence par encadrer sin sur l'intervalle , puis sin², puis 1 / sin ² ( attention au sens des inégalités), puis -1/sin² ( encore une fois attention au sens des inégalités).
Tu devrais trouver -2 < f'(x) < -1.
Je te laisse continuer.
A bientôt sur le forum.
je suis d'accord avec ta dérivée et pour le calcul de f (π/4).
Pour encadrer f' sur l'intervalle, tu dois travailler avec la fonction sin sur cet intervalle. commence par encadrer sin sur l'intervalle , puis sin², puis 1 / sin ² ( attention au sens des inégalités), puis -1/sin² ( encore une fois attention au sens des inégalités).
Tu devrais trouver -2 < f'(x) < -1.
Je te laisse continuer.
A bientôt sur le forum.