Suite numérique
Suite numérique
Bonjour,
SVP je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice :
Soit f une fonction définie sur ]o;+∞[ tel que f(x) = sqrt(4x+5)
* On a montré que f est strictement croissante
* Soit la suite (Un) tel que Uo = 2 et Un+1 = sqrt(4Un + 5) (n+1 est un indice)
* On a montré que pour tout entier naturel n on a
1< Un < 5
* On a montré que (Un) est strictement croissante, puis on a conclu sue (Un) est convergente
* Montrer que pour tout n on a :
5 - Un+1 < (4/5)×(5 - Un)
J'ai essayé entre autres méthodes la récurrence mais je ne parviens pas.
MERCI
SVP je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice :
Soit f une fonction définie sur ]o;+∞[ tel que f(x) = sqrt(4x+5)
* On a montré que f est strictement croissante
* Soit la suite (Un) tel que Uo = 2 et Un+1 = sqrt(4Un + 5) (n+1 est un indice)
* On a montré que pour tout entier naturel n on a
1< Un < 5
* On a montré que (Un) est strictement croissante, puis on a conclu sue (Un) est convergente
* Montrer que pour tout n on a :
5 - Un+1 < (4/5)×(5 - Un)
J'ai essayé entre autres méthodes la récurrence mais je ne parviens pas.
MERCI
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- Messages : 1860
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Suite numérique
Bonjour,
Pour cette question, l'inégalité des accroissements finis peut être utile mais avez-vous vu ce théorème ?
Sinon, il y a peut-être plus simple mais :
J'essayerai de démontrer ceci (qui revient au même... à expliquer) :
Pour tout \(x \in ]1;5[\) :
\(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\)
Pour démontrer cela, on isole f(x) (je te laisse faire) on obtient :
\(\Leftrightarrow \quad 1+\dfrac{4x}{5} < f(x)\)
Les deux quantités étant positives et la fonction carrée étant croissante sur ]0;+\infty[, on obtient :
\(\Leftrightarrow \quad (1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\)
Pour résumer, démontrer : \(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\) pour tout \(x \in ]1;5[\) revient à démontrer \((1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\) pour tout \(x \in ]1;5[\)
Ensuite, il s'agit d'une inéquation du second degré donc en ramenant la comparaison à 0 puis en développant on doit pouvoir s'en sortir.
Bon courage
Pour cette question, l'inégalité des accroissements finis peut être utile mais avez-vous vu ce théorème ?
Sinon, il y a peut-être plus simple mais :
J'essayerai de démontrer ceci (qui revient au même... à expliquer) :
Pour tout \(x \in ]1;5[\) :
\(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\)
Pour démontrer cela, on isole f(x) (je te laisse faire) on obtient :
\(\Leftrightarrow \quad 1+\dfrac{4x}{5} < f(x)\)
Les deux quantités étant positives et la fonction carrée étant croissante sur ]0;+\infty[, on obtient :
\(\Leftrightarrow \quad (1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\)
Pour résumer, démontrer : \(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\) pour tout \(x \in ]1;5[\) revient à démontrer \((1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\) pour tout \(x \in ]1;5[\)
Ensuite, il s'agit d'une inéquation du second degré donc en ramenant la comparaison à 0 puis en développant on doit pouvoir s'en sortir.
Bon courage
Re: Suite numérique
Bonjour,
* Oui je connais le théorème des accroissements finis, j'aimerais bien si possible me montrer comment l'utiliser ici.
* D'accord merci beaucoup j'ai compris votre explication donc pour terminer je dois juste remplacer f(x) par Un, c'est ça?
Merci
* Oui je connais le théorème des accroissements finis, j'aimerais bien si possible me montrer comment l'utiliser ici.
* D'accord merci beaucoup j'ai compris votre explication donc pour terminer je dois juste remplacer f(x) par Un, c'est ça?
Merci
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Suite numérique
Pour la fin, on remplace x par u_n, ainsi f(u_n) = u_{n+1}.
Pour le théorème des accroissements finis, il faut que tu regardes des exemples sur le web, c'est plutôt simple à comprendre :
Pour f une fonction dérivable sur I = [a;b] et f ' sa dérivée sur ]a;b[.
Il existe un réel c \in ]a;b[ tel que :
f(b)-f(a) = f '(c)(b-a)
En appliquant ce théorème sur [x;5] avec x \in ]1;5[ puis en utilisant un majorant de f ' sur ]1;5[ (donc sur ]x;5[) on doit obtenir le résultat. (Inégalité des accroissements finis)
Le majorant doit être 4/5 ou 4/6, dans les deux cas cela convient.
Bon courage
Pour le théorème des accroissements finis, il faut que tu regardes des exemples sur le web, c'est plutôt simple à comprendre :
Pour f une fonction dérivable sur I = [a;b] et f ' sa dérivée sur ]a;b[.
Il existe un réel c \in ]a;b[ tel que :
f(b)-f(a) = f '(c)(b-a)
En appliquant ce théorème sur [x;5] avec x \in ]1;5[ puis en utilisant un majorant de f ' sur ]1;5[ (donc sur ]x;5[) on doit obtenir le résultat. (Inégalité des accroissements finis)
Le majorant doit être 4/5 ou 4/6, dans les deux cas cela convient.
Bon courage
Re: Suite numérique
Bonjour,
Ok merci, jai encore une question SVP, bien que je peux facilement montrer dans une question précédente que 1<Un<5 et cela par récurrence mais je me demande comment cela est possible puisque la suite (Un) a l'aire de croître vers +∞, d'ailleurs la limite de la fonction f en +∞ égale à +∞. Quelque chose m'échappe peut-être ?
Merci
Ok merci, jai encore une question SVP, bien que je peux facilement montrer dans une question précédente que 1<Un<5 et cela par récurrence mais je me demande comment cela est possible puisque la suite (Un) a l'aire de croître vers +∞, d'ailleurs la limite de la fonction f en +∞ égale à +∞. Quelque chose m'échappe peut-être ?
Merci
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Suite numérique
C'est une confusion courante.
Il ne faut pas confondre la suite de termes (U_n) et la fonction f.
Regarde l'image présentant la construction terme à terme de la suite (U_n), cela ressemble à ton cas :
On observe que les termes vont être bloqués par le point fixe de f (f(x)=x)
En fait, Pour tout x \in [0;5], 1<=f(x)<=5 donc chaque terme de (U_n) est contenu dans [1;5] (à ne pas confondre avec f(x) pour x \in [0;+\infty[
A bientôt
Il ne faut pas confondre la suite de termes (U_n) et la fonction f.
Regarde l'image présentant la construction terme à terme de la suite (U_n), cela ressemble à ton cas :
On observe que les termes vont être bloqués par le point fixe de f (f(x)=x)
En fait, Pour tout x \in [0;5], 1<=f(x)<=5 donc chaque terme de (U_n) est contenu dans [1;5] (à ne pas confondre avec f(x) pour x \in [0;+\infty[
A bientôt
Re: Suite numérique
Bonjour,
Ah oui j'ai oublié ce point fixe et qui représente la limite du (Un) quand elle est convergente.
Merci infiniment pour vos précieuses explication
A bientôt
Ah oui j'ai oublié ce point fixe et qui représente la limite du (Un) quand elle est convergente.
Merci infiniment pour vos précieuses explication
A bientôt
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Suite numérique
Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math
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