Racine n-ieme d'un complexe

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TerminaleS+2

Racine n-ieme d'un complexe

Message par TerminaleS+2 » lun. 18 oct. 2021 05:28

Bonjour

Je ne suis pas sur d'avoir compris la méthode pour résoudre une équations de type z^n = 1.

Nous devons passer par la forme trigonométrique.
Mais ensuite ?

Je pense qu'une démonstration de la résolution m'aiderait beaucoup.

Merci de votre attention !
sos-math(21)
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » lun. 18 oct. 2021 13:57

Bonjour,
les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation z^n=1.
Elles sont toutes de modules 1 car |z^n|=1=|z|^n donc |z|=1.
Leur forme trigonométrique est donc de la forme \(e^{i\theta}\).
comme z^n=1, on a e^(i*n*theta)=1, cela donne n*theta = 0 modulo 2pi.
Donc les arguments seront de la forme 2kpi/n avec k entre 0 et n-1.
Pour n=3, cela signifie que les racines cubiques de l'unité sont 1, e^(ipi/3), e^(2ipi/3).
Est-ce que c'est plus clair ?
Terminale S+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par Terminale S+2 » lun. 18 oct. 2021 15:42

Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer SOS 21 !

Puis je avoir quelques précisions s'il vous plait ?
comme z^n=1, on a e^(i*n*theta)=1, cela donne n*theta = 0 modulo 2pi.
J'ai compris comment nous sommes arrivés à e^(i*n*theta)=1, mais qu'avons nous fait pour trouver n*theta = 0 modulo 2pi ? Je sais pourquoi il y a un modulo 2pi. Mais pourquoi le i a "disparu" ? Avons nous utilisé ln pour faire disparaitre le e ?

Dans mon cours, je trouve cette formule, je ne comprends pas d'où elle sort : z^n = 1, et 1 = e^i * 2 * k * pi. Jusque là..normalement aucun problème.
Il est dit que les racines noté W, s'écrivent : e ^ (i 2pi k/n) Pourquoi ? D'ou vient cette division ?

Que dois je faire si j'ai une équation de la formue e^n = x, avec x appartenant à R ?
Par exemple, z^3 = -27, je peux faire passer le -27 de l'autre coté, jouer avec, et apres ?

Merci sincèrement SOS21 de votre bénévolat.
sos-math(21)
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » lun. 18 oct. 2021 17:03

Bonjour,
le nombre 1 a pour argument 0 modulo (2pi).
donc si e^(i*n*theta)=1, alors les arguments de ces deux complexes sont égaux modulo 2pi. Un argument de e^(i*n*theta) étant justement n*theta, on a bien n*theta = 0 modulo 2pi.
Cela signifie que 2*pi divise n*theta donc il existe un entier k tel que n*theta = 2kpi soit theta = 2*k*pi/n.
Le nombre entier k est quelconque mais quitte à enlever des tours, c'est-à-dire des multiples de 2kpi, on peut considérer que k doit être compris entre 0 et n-1. Ce qui explique ma première réponse.
Si tu as une équation du type z^n=x (avec x>0), alors tu commences par dire que les modules sont égaux donc |z|^n=x et tu prends la racine n-ième de x : x^(1/n).
Les solutions seront donc les nombres de la forme (x^(1/n))*z', avec z'^n=1, et on retombe sur les racines n-ièmes de l'unité, d'où l'importance de celles-ci.
Je ne sais pas si j'ai été clair, c'est assez difficile sans les formules mathématiques.
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par Terminale S+2 » lun. 18 oct. 2021 22:03

Bonsoir
sos-math(21) a écrit :
lun. 18 oct. 2021 17:03
Un argument de e^(i*n*theta) étant justement n*theta
Voici ce qui me bloque, je n'ai pas compris comment avons nous trouvé cet argument. Dans une forme exponentielle, l'argument n'est il pas désigné par theta ? Pourquoi avons nous pris en compte n dans l'argument, mais pas i ?
sos-math(21) a écrit :
lun. 18 oct. 2021 17:03
i tu as une équation du type z^n=x, alors tu commences par dire que les modules sont égaux donc |z|^n=|x| et tu prends la racine n-ième de |x| : |x|^(1/n).
Par exemple, z^3 = -27. La racine n ième de -27 c'est la racine cubique de -27 qui est -3.
J'ai |z|^3= - 3

Peut on continuer l'exemple s'il vous plait ?

(je suis désolé, tout ce la m'embrouille un peu !

J'ai essayé de résumer tout cela dans la PJ, est ce juste ? (j'ai bien compris le début de la PJ, je n'ai juste pas compris comment on introduit le k)

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sos-math(21)
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » mar. 19 oct. 2021 06:48

Bonjour,
La forme trigonométrique d’un nombre complexe z est |z|exp(i*theta) où thêta est un argument de z.
Donc on ne tient pas compte du i puisque celui-ci fait partie de la forme générale.
Pour ce que tu as écrit il y a une erreur sur la ligne où tu écris que le module est égal à 0 h troisième ligne) : c’est l’argument et non le module qui vaut 0 à 2pi près.
La dernière équivalence n’a pas de sens écrite comme ceci : tu peux passer directement de l’avant dernière à la conclusion.
Pour l’équation z^3=-27, tu calcules le module qui vaut 3 et ensuite tu regardes les arguments.
Je te renverrai un message plus tard pour préciser la démarche.
Bonne continuation
sos-math(21)
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » mar. 19 oct. 2021 07:59

Bonjour,
mes derniers messages sur ce fil de discussion manquaient de précision donc je prends le temps de mieux présenter la démarche.
Je reprends la méthode de résolution d'une équation du type z^n=w, avec w réel ou complexe.
On regarde d'abord les modules : |z|^n=|w| donc |z|=|w|^(1/n).
On regarde ensuite les arguments, en notant theta un argument de w,
on a n*arg(z)=arg(w) + 2kpi, avec k dans Z.
soit en divisant par n : arg(z)=arg(w)/n+2kpi/n, avec k dans Z.
Quitte à enlever des tours complets (des multiples de 2pi), on peut se limiter aux valeurs de k comprises entre 0 et n-1.
Les solutions finales sont donc les complexes de la forme |z|^(1/n)exp(i(arg(w)/n+2kpi/n)), avec k compris entre 0 et n-1.
Pour l'équation z^3=-27, on regarde les modules : |z|^3=27 donc |z|=3.
puis comme -27=27exp(i*pi), on a les solutions de la forme 3exp(i(pi/3+2kpi/3)), avec k=0,1,2, soit dans l'ordre des valeurs de k : 3exp(i*pi/3),-3, 3exp(5ipi/3)=3exp(-i*pi/3).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par Terminale S+2 » mer. 20 oct. 2021 22:20

Bonsoir SOS 21,

Merci de votre réponse détaillée.

J'ai compris pour mes questions précédentes !
(en fait, dans mon cours, ce n'est pas trop détaillé, et j'essayais de le réécrire, en faisant une sorte de démonstration). Je vous le montrerai demain !

(Pardon pour ma réponse tardive, j'ai un peu de mal entre les cours et les révisions !)

(SOS 21, puis je poser des questions sur l'intégration par changement de variable ? Nous avions travaillé ensemble l'IPP ensemble en été 2020 il me semble)
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » jeu. 21 oct. 2021 06:40

Bonjour,
tu peux toujours envoyer tes questions sur le calcul d'intégrales par changement de variable.
Nous verrons si nous pouvons y répondre.
Bonne continuation
TerminaleS+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par TerminaleS+2 » lun. 25 oct. 2021 05:38

Bonjour SOS 21

J'ai relu vos explication, ça me semble plus clair !
J'ai rédigé une petite explication que je vous joins ci dessous.

J'ai également compris pour le cas z^n = w avec w réel ou complexe. Est ce qu'on peut dire que ce cas est un cas général de z^n=1 ?

Merci de votre attention

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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » lun. 25 oct. 2021 07:29

Bonjour
Ta rédaction est correcte tu peux peut-être préciser que l’on peut prendre les k entre 0 et n-1.
Le cas de la racine nième de l’unité est bien entendu un cas particulier de la racine nième d’un nombre complexe.
Quand on sait faire pour le cas général on sait faire pour w=1 donc il vaut mieux retenir la démarche générale.
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par Terminale S+2 » lun. 25 oct. 2021 22:37

Bonsoir SOS 21,

Je note ca ! C'était quelque chose que j'avais compris, mais que j'avais oublié de noter !

Je voudrais savoir comment pouvons nous démontre ceci : (comme ce que j'ai fait dans ma pièce jointe)
Les solutions finales sont donc les complexes de la forme |z|^(1/n)exp(i(arg(w)/n+2kpi/n)), avec k compris entre 0 et n-1.
J'ai réussi avec z^n = 1 mais pas dans le cas général.

(Pourquoi est il important de calculer les modules ?)

Bonne soirée SOS 21
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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » mar. 26 oct. 2021 08:21

Bonjour,
le cas général suit la même démarche : il faut gérer les modules et les arguments.
Lorsqu'on élève un complexe à la puissance n, son module est aussi élevé à la puissance n et son argument est multiplié par n.
C'est ce qui explique la racine n-ième du module de w et la division par n de son argument.
La démonstration est un corollaire des racines n-ième de l'unité. Tu peux regarder ce cours de prépa p 14-15 : http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Nombres%20complexes%20et%20trigonometrie.pdf
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par Terminale S+2 » mar. 26 oct. 2021 22:23

Bonsoir,

Et voilàààààà ma démonstrationnnn !
J'espère que c'est juste, je crois avoir compris enfin !

Bonne soiréeeee !

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Re: Racine n-ieme d'un complexe

Message par sos-math(21) » mar. 26 oct. 2021 22:50

Bonjour,
Il y a quelques erreurs dans ta démonstration : il manque des modules dans la démonstration sur les racines nième de l’unité et tu écris w^(1/n) qui n’a pas encore été défini : il faut repasser par les modules et les arguments.
Je te conseille de relire la démonstration du cours que je t’ai donné en lien ( dernière page) : tout y est.
Bonne continuation
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