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Mato

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Message par Mato » mar. 12 oct. 2021 19:37

Bonjour pourriez vous m'aidez avec cet exercice de mon devoir voici ce que j'ai réaliser mais je suis bloqué après le raisonnement par récurrence.
Est ce que ce que j'ai fais est bon?
Fichiers joints
Image (377).jpg
Image (376).jpg
sos-math(21)
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Re: devoir

Message par sos-math(21) » mar. 12 oct. 2021 20:05

Bonjour,
ton raisonnement est correct et bien rédigé : tu peux peut-être rajouter que c'est la croissance de la fonction racine carrée qui permet de prendre la racine carrée dans l'encadrement et de conserver le sens de l'inégalité.
Pour le sens de variation, tu peux étudier le sens de variation de la fonction associée : f(x)=racine(3x+4) : dérivée, signe de la dérivée, sens de variation.
Puis tu montres par récurrence sur n : u_{n+1} > u_{n} ce qui prouvera que ta suite est strictement croissante.
Le sens de variation de variation te servira dans l'hérédité : si u_{n+1} > u_{n} alors par croissance de f : f(u_{n+1}) > f(u_{n}) soit u_{n+2} > u_{n+1}.
Bonne continuation
Mato

Re: devoir

Message par Mato » mer. 13 oct. 2021 12:56

D'accord je comprends mais je n'ai absolument pas compris la question 2
SoS-Math(33)
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Re: devoir

Message par SoS-Math(33) » mer. 13 oct. 2021 13:06

Bonjour Mato,
si tu lis bien la seconde partie du message de sos-math(21), tu as l'explication pour la seconde question.
SoS-math
sos-math(21) a écrit :
mar. 12 oct. 2021 20:05
Bonjour,
ton raisonnement est correct et bien rédigé : tu peux peut-être rajouter que c'est la croissance de la fonction racine carrée qui permet de prendre la racine carrée dans l'encadrement et de conserver le sens de l'inégalité.
Pour le sens de variation, tu peux étudier le sens de variation de la fonction associée : f(x)=racine(3x+4) : dérivée, signe de la dérivée, sens de variation.
Puis tu montres par récurrence sur n : \(u_{n+1} > u_{n}\) ce qui prouvera que ta suite est strictement croissante.
Le sens de variation de variation te servira dans l'hérédité : si \(u_{n+1} > u_{n}\) alors par croissance de f : \(f(u_{n+1}) > f(u_{n})\) soit \(u_{n+2} > u_{n+1}\).

Bonne continuation
Mato

Re: devoir

Message par Mato » mer. 13 oct. 2021 13:20

Oui mais je parlais pour la question 2 sur la convergence de Vn
sos-math(21)
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Re: devoir

Message par sos-math(21) » mer. 13 oct. 2021 13:32

Bonjour,
si tu as montré que ta suite (u_n) était convergente et convergeait vers un nombre L, alors la limite de la suite (v_n) est égale à 0 : car le numérateur tend vers L et le dénominateur tend vers + l'infini. Ainsi la suite (v_n) est convergente de limite 0.
Bonne continuation
Mato

Re: devoir

Message par Mato » mer. 13 oct. 2021 13:48

D'accord merci j'ai très bien compris la question 2 mais je viens de remarquer que je n'arrive pas à la question 1c à déterminer la limite
sos-math(21)
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Re: devoir

Message par sos-math(21) » mer. 13 oct. 2021 13:55

Bonjour,
Tu as démontré dans les questions précédentes que la suite (u_n) était croissante et que tous les termes de cette suite étaient compris entre 0 et 4.
Cela signifie que (u_n) est majorée par 4.
La suite (u_n) est croissante et majorée donc ... d'après le théorème de convergence des suites monotones (dans ton cours normalement).
De plus si tu notes L sa limite, alors en faisant tendre n vers + l'infini dans ta relation de récurrence u_{n+1}=racine(3u_n+4), tu as u_{n} qui tend vers L, mais aussi u_{n+1} qui tend aussi vers L, donc en passant à la limite, tu as L=racine(3L+4).
Il te reste à résoudre cette équation pour déterminer la valeur de L.
Bon calcul
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