Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

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roujiaz

Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par roujiaz » mar. 6 juil. 2021 06:38

Bonjour,
Soit l'équation : x² + ax + b =0 (a et b des réels)
Trouver une relation entre a et b poue que cette équation admet des sollutions dans l'ensemble des entiers relatifs (Z).
Le problème je pense réside dans le discriminant (a² - 4b) il faut qu'il soit un carré parfait.
Merci
sos-math(21)
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Re: Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par sos-math(21) » mar. 6 juil. 2021 07:22

Bonjour,
si tu supposes que ton équation a deux solutions \(x_1\) et \(x_2\) entières (pas nécessairement distinctes), alors ton équation s'écrit \((x-x_1)(x-x_2)=0\), ce qui donne en développant \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\) donc en identifiant selon les puissances de \(x\), on a :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b\end{array}\right.\)
ces deux conditions imposent que \(a\) et \(b\) doivent être entiers comme somme et produit de deux entiers.
Tu peux en déduire des informations sur les solutions vis-à-vis de \(a\) et \(b\).
Pour avoir une relation entre \(a\) et \(b\), il faut certainement repasser par le discriminant, comme tu l'as fait.
Si ta question était trouver une relation entre \(a\) et \(b\) pour que l'équation ait des solutions entières, alors ce que tu avais trouvé (en rajoutant le fait que \(a\) et \(b\) soient entiers, à partir de ce que je t'ai dit) est une réponse, mais je ne sais pas si cette réponse est assez approfondie.
Tu peux poursuivre le travail en disant alors qu'il existe un entier \(c\), tel que \(a^2-4b=c^2\) ce qui donne \(a^2-c^2=4b\) soit \((a+c)(a-c)=4b\) et tu peux en déduire des liens de divisibilité.
Bonne continuation
roujiaz

Re: Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par roujiaz » mar. 6 juil. 2021 19:15

Bonjour
Merci pour l'idée, je vais essayer de terminer
\(\left ( a+c \right )\left ( a-c \right )=4b=2\times 2b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2/\left ( a+c \right )\left ( a-c \right )\\ avec 2 prmier \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2/a-c\\ ou bien 2/a+c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=a-2k\\ c=2k-a \end{matrix}\right. \left ( k\in \mathbb{Z} \right )\)
On a \(a^{2}-4b=c^{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-4b=\left ( a-2k \right )^{2}\\ ou \\ a^{2}-4b=\left ( 2k-a \right )^{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{2}-4b=\left ( a-2k \right )^{2}\Rightarrow b=ka-k^{2}\) \(\left ( a;b;k \right )\in \mathbb{Z}^{3}\)
d'un autre coté on remarquera après avoir remplacer b par la valeur trouvée dans la dernière relation (en fonction de a et k) que les racines x_1 et x_2 sont entières quelque soit a .
C'est juste comme raisonnement ? et merci beaucoup
roujiaz

Re: Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par roujiaz » ven. 9 juil. 2021 16:28

bonjour
ok merci beaucoup.
roujiaz

Re: Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par roujiaz » ven. 27 août 2021 12:38

Bonjour et bonne reprise
Est ce que c'est juste?
Merci
sos-math(21)
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Re: Resoudre une equation du 2eme degré dans Z

Message par sos-math(21) » lun. 30 août 2021 17:56

Bonjour,
tes calculs me semblent corrects.
Comme tu as travaillé par implications, il te resterait à partir de la relation que tu as obtenu entre \(a\) et \(b\) pour vérifier qu'avec cette relation, l'équation a des solutions entières.
Je te laisse terminer cette vérification.
Bonne continuation
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