Euclide

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Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mar. 20 avr. 2021 09:37

J'ai compris, merci !
Pour la 6.:
Il faut le couple de solutions (14;7) donnent une solution à (E) tel que celle-ci soit un multiple de 3. Vérifions par calcul:
\((E):9x+15y=9*14+15*7=126+105=231\)
Or \(3|231\) \(\frac{231}{3}= 77\)
Donc la solution \((x;y)=(14;7)\) convient.

Pour l'interprétation, il faut retourner 14 fois le sablier de 9 minutes et 7 fois le sablier de 15 minutes ?
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Re: Euclide

Message par SoS-Math(9) » mar. 20 avr. 2021 11:14

Maxine,

Attention, ici il faut mesurer 231 minutes. Donc on commence par retourner 14 fois le sablier de 9 minutes puis 7 fois celui de 15 minutes. (contrairement au cas précédent où il fallait démarrer les deux sabliers en même temps).

SoSMath.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mar. 20 avr. 2021 13:06

Ah oui effectivement j'avais oublié ce détail merci :)
Pour résoudre l'équation générale à 2 inconnues \((E_{d}):9x+15y=d\), je me base sur la question 2) ? Je n'ai jamais résolu ce type d'équation.
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Re: Euclide

Message par SoS-Math(9) » mar. 20 avr. 2021 13:22

Maxine,

Tu as l'équation 9x + 15y = d à résoudre.
avec la condition d = 3n car d est un multiple de 3. Donc il faut résoudre 9x + 15y = 3n (1)

Une solution particulière de 9x + 15y = 3 est x = 2 et y=-1, soit 9*2 + 15*(-1) = 3,
donc en multipliant par n, on obtient : 9*2n + 15*(-1n) = 3n (2).

On soustrait les équations (1) et (2) : 9x + 15y - 9*2n - 15*(-1n) = 3n-3n, soit 9(x-2n) - 15(-y-n) = 0
soit 15(-y-n) = 9(x-2n),
soit 5(-y-n) = 3(x-2n).

Comme 5 et 3 sont premier entre eux, alors d'après Gauss, -y-n = 3k et x-2n= 5k où k appartient à Z.
Soit x = 2n + 5k et y = -n - 3k.

Bon courage,
SoSMath.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mar. 20 avr. 2021 18:59

Mercii !!
Trois quarts d'heure= 45 minutes.
Du coup il faut que je résolve \(2n+5k> 45\) et \(-n-3k> 45\) ?
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Re: Euclide

Message par SoS-Math(9) » mar. 20 avr. 2021 20:46

Bonsoir Maxine,

Pourquoi veux tu résoudre x>45 et x>45 ?
Il faut démontrer que pour d>45, donc n>15, il existe k tel que x>0 et y>0.

SoSMath.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mer. 21 avr. 2021 16:19

Il faut étudier les équations x>=0 et y>=0 au départ, et essayer de prouver que si d>=45, alors il existe au moins un k qui convient.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mer. 21 avr. 2021 16:20

Mais par calcul je ne vois pas trop ..?
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Re: Euclide

Message par SoS-Math(9) » mer. 21 avr. 2021 17:41

Maxime,

On cherche à prouver qu'il existe un entier relatif k tel que x >=0 et y>=0. Alors :

x >=0 et y>=0 <=> 2n + 5k >= 0 et -n - 3k >= 0 <=> k >= -2/5*n et -n/3 > = k <=> k \(\in\) [-2/5*n ; -n/3].
Pour qu'il existe au moins un entier relatif dans [-2/5*n ; -n/3], il faut que l'amplitude A de cet intervalle soit supérieur où égale à 1.

D'où : A >= 1 <=> -n/3 - (-2/5*n) >= 1 <=> n/15 >= 1 <=> n >=15.

Donc pour n>=15, il existe un entier relatif k tel que x >=0 et y>=0.

SoSMath.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » mer. 21 avr. 2021 18:43

D'accord j'ai compris ! :) :)
Merci énormément pour votre aide. C'était un devoir très casse-tête.
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Re: Euclide

Message par SoS-Math(9) » mer. 21 avr. 2021 19:44

A bientôt Maxine.

SoSMath.