Fonctions

[Invité]

Bonjour,
j'ai un dm à faire. j'ai fais la plupart des questions, et j'aimerai bien que vous me disiez si mes raisonnements sont bon afin de ne pas etre parti dans la mauvaise direction. J'aurai aussi besoin d'aide sur quelques questions.
voila le sujet :
Exercice 1 : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes en justifiant de façon précise votre raisonnement :
a- f : R --> R
x---> f(x) = \(\sqrt{5-2x}\)

b- g : R--> R
x----> g(x) = \(\frac{x+1}{6x^2+3x}\)

c- h : R--> R
x--> h(x) = \(\frac{x+7}{x-3}\)

d- l : R---> R
x---> l(x)= \(\sqrt{x^2+9}\)

e- m : R--> R
x-->m(x)=\(\sqrt\frac{4}{x}-1\)
Exercice 2 : Soient f et g deux fonctions définies par :
f(x)=\(\frac{x+3}{x+1}\) et g(x)=\(\frac{x}{x+2}\)
Soit la fonction h = gof
1- Préciser les ensembles de définitions des fonctions f, g et h et calculer explicitement h(x).
2-Soit la fonction k définie par k(x)=\(\frac{x+3}{3x+5}\)
Les fonctions sont-elles égales et pourquoi?
Exercice 3 : f est une fonction définie sur R, p et i sont deux fonctions définies par :
p(x)=\(\frac{1}{2}\)[f(x)+f(-x)] et i(x)= \(\frac{1}{2}\)[f(x) - f(-x)]
1-Démontrez que p est une fonction paire et que i est une fonction impaire.
2- Déduisez-en que toute fonction f définie sur R peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
3-Application : déterminez les fonctions p et i dans chacun des cas suivants :
a- f(x)=\(2x^3-x^2\)+x-4
b- g(x)=\(\frac{2x-1}{x^2+1}\)

et voila ce que j'ai fait :
Exercice 1 :(je ne vous mets que les résultats car ça je pense avoir bien compris)
a-Df= [2.5 ; +\(\infty\)[
b-Dg=]-\(\infty\);-1[\(\cup\)]-1; -0.5[\(\cup\)]-0.5;0[\(\cup\)]0 ; +\(\infty\)
c-Dh=]-\(\infty\); - 7[\(\cup\)]-7;0[\(\cup\)]0;3[\(\cup\)]3;+\(\infty\)]
d- Dl= [-3;+\(\infty\)[
e- Dm=[4;+\(\infty\)[
Exercice 2
1- Je trouve Df= ]-\(\infty\);-3[\(\cup\)^]-3;-1[\(\cup\)]-1; +\(\infty\)[
et
Dg=]-\(\infty\);-2[\(\cup\)]-2;0[\(\cup\)]0;+\(\infty\)[

Je n'arrive pas à trouver Dh .. et j'ai besoin de vous pour calculer gof car ce que je trouve s'annule donc c'est impossible.
Exercice 3 :
1- p(x)=\(\frac{1}{2}\)[f(x)+f(-x)]
p(-x)=\(\frac{1}{2}\)[f(-x)+f(x)]
donc p(x) = p(-x)
donc p est paire.
i(x)=\(\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]
-i(x)=\(\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]
et là je ne sais pas comment faire pour trouver que -i(x)=i (x)..

2- J'ai donc admis que i(x) est impaire:
p(x)+i(x)
\(\frac{1}{2}\)[f(x)+f(-x)]+\(\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]
\(\frac{1}{2}\)f(x) + \(\frac{1}{2}\)f(-x)+\(\frac{1}{2}\)f(x)-\(\frac{1}{2}\)f(-x)
cela donne f(x)
donc p(x) + i(x) = f(x)
3- a- je trouve p(x) = \(-x^2\)-4
et i(x) = \(2x^3\)+x

b- je trouve p(x)=\(\frac{-1}{x^2+1}\)
et i(x)= \(\frac{2x-1}{x^2+1}\)

voila .. je sais que c'est long à lire !Merci de m'indiquer si j'ai fait des erreurs et de m'aider là où je n'y arrive pas .
Merci beaucoup d'avance.

Aurélie.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurélie,

Tu as raison, c'est long !

Commençons par l'exercice 1 !

Tu semble ne pas avoir compris !
f : R --> R
x---> f(x) = \(\sqrt{5 - 2x}\)

Ici f est définie si 5 - 2x \(\geq\) 0
soit 5 \(\geq\) 2x
soit \(\frac{5}{2}\) \(\geq\) x
soit x \(\leq\) \(\frac{5}{2}\)
soit x \(\in\) ] -\(\infty\);\(\frac{5}{2}\) ]

De même pour la fonction g!

G est définie si son dénominateur est différent de 0,
soit \(6x^{2} + 3x\) différent de 0
soit ...

Voila pour débuter !
Bon courage.

[Invité]

Rebonjour ^^

en fait, j'ai fait :

5-2x\(\geq\)0
-2x\(\geq\)-5
x\(\leq\)\(\frac{-5}{-2}\)
x\(\leq\)2.5

je ne comprends pas mon erreur en fait ..

Merci

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurélie,

Ton calcul est juste mais c'est ta réponse ( [2,5 ; + \(\infty\) [) qui est fausse.

tu trouves x \(\leq\) 2,5,
c'est-à-dire x plus petit ou égal à 2,5
soit x \(\in\) ] -\(\infty\) ; 2,5 ].

[Invité]

a Ouiii ! Merci !

j'avais inversé l'ensemble ^^

Merci

y-a-t-il d'autres erreurs? Pouvez vous m'aider pour le calcul de g°f svp car je bloque vraiment là dessus et pour prouver que i est impaire dans l'exo 3 ... ? il faut prouver que i(-x) = - i (x) mais je n'y arrive vraiment pas !


Merci beaucoup encore !

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Aurélie,

Pour l'exercice 2, tes ensembles de définition sont aussi faux ! (même problème que l'exercice 1 ...)

(ici # signifie "différent de")

* f est définie si x + 1 # 0 soit x # -1, donc Df = R\(-\){-1}

*h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = \(\frac{f(x)}{f(x)+2}\)
il reste à remplacer f(x) par son expression et simplifer ta fraction.

Pour l'exercice 3

1) tu as : i(x)=\(\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]

et \(-\)i(x)=\(-\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]

Reste à calculer i(\(-\)x) et le comparer avec \(-\)i(x).
(en principe tu trouves l'égalité demandée !)

2)Pour g(x) tu as fait une erreur dans i(x). Sinon le reste semble juste.

Bon courage.

[Invité]

Merci

pour l'exercice 2 j'ai trouvé que :
g°f =(x+3/x+1)/(x+3/x+2+1)
=(x+3/x+1)/(x+3/x+1+2) fois x+3/x+1+2
=x^2+9/x^2+3

Le problème c'est que je ne pense pas que cela soit correct ... !

pour l'exercice 3, j'ai trouvé que
i(-x)=\(\frac{1}{2}\)[f(-x)-f(x)]
=-\(\frac{1}{2}\)[f(x)-f(-x)]
donc i(-x)=-i(x)

est-ce correct?

Merci

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurélie,

Ton expression de gof est fausse !

Tu n'as pas écrit (gof)(x) = g(f(x)) = \(\frac{f(x)}{f(x)+2}\)

Tu as écrit g°f =(x+3/x+1)/(x+3/x+2+1)
(ce qui est en rouge est faux)

On a : (gof)(x)=(x+3/x+1)/((x+3/x+1)+2)
(f(x) est en vert)

Reste à simplifier ta fraction.

Pour l'exercice 3, cela semble juste.

Bon courage.

[Invité]

Bonjour !
Ce sujet m'a vachement aidé ! et comme ma prof nous a donné presque le même DM... mais je bloque sur l'exercice 3 .
Déterminer les fonctions p et i lorsque f(x)= 3x^3-2x²+3x-1 et
f(x)= (x-1)(x²+1)
Je n'arrive même pas à trouver le bon raisonnement... :(

D'avance, je vous merci.

Mathieu.

[SoS-Math(4)]

Bonjour Aurélie,

Ce n'est pas un raisonnement qu'il faut faire mais un simple calcul.
Pour trouver p et i , tu dois calculer d'abord f(-x) en remplaçant x par -x dans l'expression de f(x).
Ensuite tu calcules p(x) et i(x) en prenant les définitions de l'énoncé.
Tu dois faire ce travail pour la première fonction f , puis ensuite recommencer pour la deuxième fonction f.
bon courage , tu peux m'envoyer tes calculs.
sosmaths

[Invité]

Merci bien ! J'ai trouvé p=0/2 (c'est impossible donc je sais pas quoi mettre) au deux valeurs de f(x)
Et pour i, j'ai trouvé i=2[f(x)]
et je n'arrive pas à résoudre la deuxième f(x) ..
f(x)=x-1/x²+1 (c'est la deuxièeme valeur de f(x)
i2=[(x-1/x²+1)-(-x-1/x²+1)]/2

[SoS-Math(4)]

Je voudrais que tu m'envoies le calcul détaillé de f(-x) pour les 2 fonctions.
merci
sosmaths

[Invité]

I) f(x)=3x^3-2x²+3x-1 et p(x)= [(f(x)+f(-x)]/2 et i(x)=[(f(x)-f(-x)]/2

II) f(x)=(x-1) / (x²+1)

Calculez p et i pour les deux valeurs de f(x)

p1=[(3x^3-2x²+3x-1)+(-3x^3+2x²-3x+1)] / 2
on supprime les nombres qui s'annulent et on trouve 0/2.

p2= [(x-1) / (x²+1)]+[(-x+1) / (x²+1)] / 2
les nombres s'annulent donc pareil 0/2

et i2=[(x-1) / (x²+1)] - [(-x+1) / (x²+1)] / 2

et là, je suis bloqué.

Merci par avance .

Mathieu.

[SoS-Math(4)]

Tes calculs sont faux car tu te trompes dans les calculs de f(-x).
C'est pourquoi je t'avais demandé de m'envoyer uniquement le calcul de f(-x).

je commence pour la première fonction :
\(f(-x)=3(-x)^3-2(-x)^2+3(-x)-1\)
j'attends la suite.
sosmaths

[Invité]

j'ai refais les calculs et je trouve p=-1 et i= 3x^3-2x²+3x

mais pour la deuxième valeur de f(x) je suis tjrs aussi boqué !