Théorème de Ceva

[Luc]

A,B, C sont trois points non alignés. a, b, et c sont trois réels différents de 1.
Les P, Q et R sont définis par :
- le vecteur PB = aPC
- le vecteur QC= bQA
- le vecteur RA= cRB
On veut démontrer que les droites (PA), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement si abc = -1.
On se place dans le repère (A,B,C).

Dans la question 1, on doit trouver les coordonnées des points : A(0;0) B(1;0) C(0;1) P(-1/(a-1); a/(a-1)) Q(0; -1/(b-1)) et R(c/(c-1); 0).
Dans la question 2, on doit trouver les équations des droites : (PA) a pour équation ax+y=0, (BQ) a pour équation x+(1-b)y -1=0 et (CR) a pour équation (c-1)x + cy - c=0.
Et là, je bloque à la question 3 qui est : "Démontrer que si (PA), (BQ) et (CR) sont parallèles deux à deux, alors abc= -1."
Je pense qu'il faut utiliser la colinéarité des vecteurs car si les droites sont parallèles entre elles, cela signifie que leurs vecteurs sont colinéaires. Donc j'ai calculé les coordonnées des vecteurs PA, BQ et CR et j'ai utilisé la formule : x'y - xy' = 0.
Mais je me retrouve toujours avec deux inconnues ( ab ou bc ou cd) et donc je n'arrive pas à trouver le résultat. J'ai également essayé d'utiliser les équations de droites, mais je n'aboutis à rien.
Pouvez-vous, s'il vous plait, me donnez un ou deux conseils ? Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu me sembles bien parti,
la colinéarité des vecteurs te donne des relations entre a, b et c.
Essaie de calculer le produit abc en remplaçant b et c par leur expression en fonction de a.

[SylvainP]

Salut !

je trouve a*b*c=-1!

°j'ai trouvé a:
(-1*-a/a-1)-(1/a-1*-1/b-1)=0
=(a/a-1)+1/(a-1)(b-1)=0
=[a(b-1)/(a-1)(b-1)]+[1/(a-1)(b-1)]=0
=a(b-1)+1/(a-1)(b-1)=0
=a+1/a-1=0
=a+1=0
a=-1

--> de là je déduis b:

a(b-1)+1/(a-1)(b-1)=0
=ab-a+1=0
je remplace a par -1:
-1b+1+1=0
b=2
b=2


idem en utilisant les vecteurs PA et CR pour trouver c(j'abrège un peu):
[c*-a/(c-1)*(a-1)]-[c-1/(c-1)*(a-1)]=0
-ca-c-1=0
-ca-c=1
-c-c=1/a
-2c=1/a
je remplace a par -1:
c=1/(-2*-1)
c=1/2

Vérifions:
a*b*c=-1
a*b*c=(-1)*(2)*(1/2)
a*b*c=(-2)*(1/2)
a*b*c=-1


Mais j'ai un problème pour la question suivante:
3°Démontrer que s'il existe un point (X0;Y0) appartenant aux droites (PA),(BQ) et (CR), alors abc=-1.

[SoS-Math(4)]

Bonjour Sylvain,

Attention , ton calcul de a est faux.
En effet tu fais une simplification interdite : dans la ligne soulignée en vert, tu ne peux simplifier par (b-1) car (b-1) n'est pas en facteur au numérateur.

En réalité , tu ne pourras pas trouver une valeur pour a, b, c, mais seulement montrer que abc=-1.

pour la question suivante, écris que x0 et y0 vérifie les équations des 3 droites, et à partir des 3 égalités obtenues, essaye de tirer la valeur de abc.

sosmaths

[Luc]

Merci beaucoup, je vais essayer dans ce sens là.

[chloé P]

Moi je n'arrive pas à démontrer que si ces 3 trois ne sont pas parralèles alors quelles se coupent en un même points pourtant j'ai fait un système avec les trois équations mais je bloque à ce niveau là .

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,

Moi je n'arrive pas à démontrer que si ces 3 trois ne sont pas parralèles alors quelles se coupent en un même points pourtant j'ai fait un système avec les trois équations mais je bloque à ce niveau là .

Est-ce une nouvelle question ? Donnez-nous le texte exact.
A bientôt

[Flau]

Bonjour, j'ai ce même exercice à faire, mais je ne comprends pas dès la 1ère question.
Malgré le fait d'avoir les solutions, j'ai beau les retournées dans tous les sens je n'arrive pas à trouver comment on peut trouver les coordonnées de P, Q et R. Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

Je suppose donc que tu es d'accord pour les coordonnées de A, B et C.

Commençons par P :

Posons P : (x;y) (On cherche donc x et y.

Quelles sont les coordonnées du vecteur \(~\vec{PB}\) ? et celles du vecteur \(~a\times \vec{PC}\) ?

Cela te donneras deux équations, une pour trouver x en fonction de a et une autre pour y.

Bon courage et à bientôt !

[lucille T]

Bonjour,
j'ai le même exercice que les autres mais je bloque sur la question 2 qui est : En déduire que la droite (PA) a pour équation ax+y=0 et que la droite (BQ) a pour équation x+(1-b)y-1=0 et que la droite (CR) a pour équation (c-1)x+cy-c=0.
J'ai essayé avec la formule xy'-yx'=0 mais je trouve pas la bonne équation pourriez vous m'aider merci d'avance.

[mom]

comment fait-on pour demontrer l'unicité des points au début de l'exercice svp?

[Lucille T]

Bonjour,
moi c'est à la question 2 que je n'arrive pas a faire qui est: En déduire que la droite (PA) a pour équation ax+y=0, que la droite (BQ) a pour équation x+(1-b)y-1=0 et que la droite (CR) a pour équation (c-1)x+cy-c=0. es ce que vous pourriez m'aider je suis bloquer, j'ai utilisé la formule xy'-yx'=0 mais je ne trouve pas les équations données. Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux utiliser la formule liée à la colinéarité.
Tu détermines d'abord les coordonnées d'un vecteur directeur : pour la droite (BQ), \(\vec{BQ}\left(\begin{array}{c}-1\\\frac{-1}{b-1}\end{array}\right)\) et le vecteur \(\vec{BM}\left(\begin{array}{c}x-1\\y\end{array}\right)\) doivent être colinéaires : je te laisse reprendre la relation \(xy'-x'y=0\).
Bon clourage

[Mathématiquement]

Bonjour Sylvain,

Attention , ton calcul de a est faux.
En effet tu fais une simplification interdite : dans la ligne soulignée en vert, tu ne peux simplifier par (b-1) car (b-1) n'est pas en facteur au numérateur.

En réalité , tu ne pourras pas trouver une valeur pour a, b, c, mais seulement montrer que abc=-1.

pour la question suivante, écris que x0 et y0 vérifie les équations des 3 droites, et à partir des 3 égalités obtenues, essaye de tirer la valeur de abc.

sosmaths

[vakeesan]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment calculé les points p, q et r s'il vous plait.

Merci