on répartit les entiers naturels non nuls en BONS et MAUVAIS selon les règles suivantes :
- tout entier naturel non nul est soit BON, soit MAUVAIS
- un entier naturel est MAUVAIS si et seulement si il est le double d'un BON
- 1 est BON
le produit de deux BONS est-il toujours BON ?
En cherchant une piste dans un livre, j'ai eu l'idée de me placer en base 2 (sans que cette notion soit enseignée en 1S dans le programme que je dispose).
Est-ce une bonne piste pour montrer que le produit de 2 BONS est BON et l'équivalence se traduit-elle par le fait qu'un MAUVAIS se termine par un nombre impair de 0 en base 2 ?(conjecture que je n'arrive pas à prouver).
Merci pour votre aide précieuse.
Respectueusement, Taous
problème ouvert
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Invité
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Bonjour,
C'est un exercice qui me semble très interessant, surtout dans ces prolongements.
Peut être que convertir les nombres en base deux est une bonne idée, mais je n'en suis pas sur.
En explorant ce problème, on s'apperçoit que : tous les nombres mauvais sont pairs.
et tous les nombres bons sont impairs
On va faire un raisonnement par l'absurde :
supposons que : Le produits de deux bons est un bon.
Considérons 2 mauvais, qui sont donc pairs. Soit 2n et 2p ces deux mauvais. Alors n et p sont bons.
D'après la supposition le produit np est bon, donc 2np est mauvais, donc 4np est bon.
On a donc montré que le produit de 2 mauvais quelconques est un mauvais.
Or en examinant la liste des nombres entiers : 2 est mauvais, 8 est mauvais et 16 est bon.
Celà contredit le résultat obtenu, donc la supposition est fausse. Donc le produit de deux bons peut être mauvais.
Voila un raisonnement, essayez de poursuivre le votre, en base 2. Je vais essayer moi même, en essayant de traduire : le nombre se termine en base 2 par un nombre impair de 0.
Il ya un autre exercice avec des dés sur le forum de 1ère. Est ce vous qui l'avez envoyé ?
bon courage
sosmaths
C'est un exercice qui me semble très interessant, surtout dans ces prolongements.
Peut être que convertir les nombres en base deux est une bonne idée, mais je n'en suis pas sur.
En explorant ce problème, on s'apperçoit que : tous les nombres mauvais sont pairs.
et tous les nombres bons sont impairs
On va faire un raisonnement par l'absurde :
supposons que : Le produits de deux bons est un bon.
Considérons 2 mauvais, qui sont donc pairs. Soit 2n et 2p ces deux mauvais. Alors n et p sont bons.
D'après la supposition le produit np est bon, donc 2np est mauvais, donc 4np est bon.
On a donc montré que le produit de 2 mauvais quelconques est un mauvais.
Or en examinant la liste des nombres entiers : 2 est mauvais, 8 est mauvais et 16 est bon.
Celà contredit le résultat obtenu, donc la supposition est fausse. Donc le produit de deux bons peut être mauvais.
Voila un raisonnement, essayez de poursuivre le votre, en base 2. Je vais essayer moi même, en essayant de traduire : le nombre se termine en base 2 par un nombre impair de 0.
Il ya un autre exercice avec des dés sur le forum de 1ère. Est ce vous qui l'avez envoyé ?
bon courage
sosmaths
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Invité
nombres bons et mauvais
je ne vois pas où est la contradiction : dans votre raisonnement, en supposant que le produit de deux bons est bon, on arrive à : le produit de deux mauvais quelconques est BON ( et non mauvais) et l'exemple que vous citez ne contredit pas cette proposition.
D'aurtre part, je comprends clairement que TOUS LES MAUVAIS SONT PAIRS puisque si m est mauvais alors il est nécessairement le double d'un nombre donc est pair mais je ne comprends pas pourquoi TOUS LES BONS SONT IMPAIRS (ce qui reviendrait à prouver que tous les PAIRS sont nécessairement MAUVAIS à savoir la réciproque de TOUS LES MAUVAIS SONT PAIRS)
Taous ou Eric (vous avez raison il s'agit du même "foyer")
Merci en tous cas pour votre rapidité et ces nouvelles pistes.
D'aurtre part, je comprends clairement que TOUS LES MAUVAIS SONT PAIRS puisque si m est mauvais alors il est nécessairement le double d'un nombre donc est pair mais je ne comprends pas pourquoi TOUS LES BONS SONT IMPAIRS (ce qui reviendrait à prouver que tous les PAIRS sont nécessairement MAUVAIS à savoir la réciproque de TOUS LES MAUVAIS SONT PAIRS)
Taous ou Eric (vous avez raison il s'agit du même "foyer")
Merci en tous cas pour votre rapidité et ces nouvelles pistes.
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SoS-Math(4)
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
bonsoir,
Vous avez raison, je me suis trompé.
Il fallait écrire : Tous les impairs sont bons et non pas : tous les bons sont impairs
Et dans la suite, j'ai montré que sous l'hypoothèse que : bon x bon=bon
alors : mauvais x mauvais = bon ( et non pas mauvais)
Donc la suite ne donne rien.
Désolé, je continue à chercher, et vous aussi, ainsi que l'autre exercice sur les dés.
Sosmaths
Vous avez raison, je me suis trompé.
Il fallait écrire : Tous les impairs sont bons et non pas : tous les bons sont impairs
Et dans la suite, j'ai montré que sous l'hypoothèse que : bon x bon=bon
alors : mauvais x mauvais = bon ( et non pas mauvais)
Donc la suite ne donne rien.
Désolé, je continue à chercher, et vous aussi, ainsi que l'autre exercice sur les dés.
Sosmaths
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
bon, j'ai un peu réfléchi :
Soit un entier N , alors il existe un entier p, et un entier impair k, tel que : \(N=2^{p}\times k\)
Par exemple : \(12=2^{2}\times 3\)
\(5=2^{0}\times 5\)
Je vais montrer par récurrence que : si p pair alors \(N=2^{p}\times k\) est bon.
En posant p=2q il faut montrer que \(N=2^{2q}\times k\) est bon pour tout entier q .
vrai pour q=0 . En effet k est bon.
supposons que \(N=2^{2q}\times k\) est bon, alors \(N=2^{2(q+1)}\times k=4N\)est bon
Le raisonnement par récurrence est terminé.
On montre par récurrence que : si p impair alors \(N=2^{p}\times k\) est mauvais.
la méthode est la même.
soit N et M deux bons alors \(N=2^{p}\times k\) et \(N=2^{p'}\times k'\)
avec p et p' pairs.
Alors NxM=\(2^{p+p'}\times k\) avec p+p' pair , donc NxM est bon.
C'est fini mais vous devez relire pour valider.
A réflexion, avec la base 2 on doit pouvoir faire quelques chose.
Sosmaths
Soit un entier N , alors il existe un entier p, et un entier impair k, tel que : \(N=2^{p}\times k\)
Par exemple : \(12=2^{2}\times 3\)
\(5=2^{0}\times 5\)
Je vais montrer par récurrence que : si p pair alors \(N=2^{p}\times k\) est bon.
En posant p=2q il faut montrer que \(N=2^{2q}\times k\) est bon pour tout entier q .
vrai pour q=0 . En effet k est bon.
supposons que \(N=2^{2q}\times k\) est bon, alors \(N=2^{2(q+1)}\times k=4N\)est bon
Le raisonnement par récurrence est terminé.
On montre par récurrence que : si p impair alors \(N=2^{p}\times k\) est mauvais.
la méthode est la même.
soit N et M deux bons alors \(N=2^{p}\times k\) et \(N=2^{p'}\times k'\)
avec p et p' pairs.
Alors NxM=\(2^{p+p'}\times k\) avec p+p' pair , donc NxM est bon.
C'est fini mais vous devez relire pour valider.
A réflexion, avec la base 2 on doit pouvoir faire quelques chose.
Sosmaths
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Invité
Voici ma solution, merci de confirmer sa validité:
soit x et y deux MAUVAIS. x s'écrit alors 2n et y s'écrit 2p où n et p sont BONS.
Supposons, par l'absurde, que LE PRODUIT DE DEUX BONS EST MAUVAIS.
D'après cette hypothèse, np est MAUVAIS.
D'après la prop 1 ci-dessous, 2np est BON.
D'après la prop 2 ci-dessous, 4np est MAUVAIS.
Ainsi le produit de 2 MAUVAIS est MAUVAIS.
Or : 2 est MAUVAIS, 8 est MAUVAIS et 16 est BON d'où la CONTRADICTION (2*8 est BON).
En conclusion, le PRODUIT DE DEUX BONS EST TOUJOURS BON.
Prop 1 : si a est MAUVAIS alors 2a est BON
preuve : si 2a est mauvais alors a est nécessairement bon (contraposée)
Prop 2 : si a est BON alors 2a est MAUVAIS
preuve : si a est bon alors 2a est le double d'un bon donc 2a est mauvais
Merci de valider ce raisonnement entièrement inspiré du vôtre (MERCI).
Il y a une petite chose qui m'échappe :
dans quelle mesure, la règle "tout entier naturel non nul est soit bon, soit mauvais" a-t-elle servi ?
soit x et y deux MAUVAIS. x s'écrit alors 2n et y s'écrit 2p où n et p sont BONS.
Supposons, par l'absurde, que LE PRODUIT DE DEUX BONS EST MAUVAIS.
D'après cette hypothèse, np est MAUVAIS.
D'après la prop 1 ci-dessous, 2np est BON.
D'après la prop 2 ci-dessous, 4np est MAUVAIS.
Ainsi le produit de 2 MAUVAIS est MAUVAIS.
Or : 2 est MAUVAIS, 8 est MAUVAIS et 16 est BON d'où la CONTRADICTION (2*8 est BON).
En conclusion, le PRODUIT DE DEUX BONS EST TOUJOURS BON.
Prop 1 : si a est MAUVAIS alors 2a est BON
preuve : si 2a est mauvais alors a est nécessairement bon (contraposée)
Prop 2 : si a est BON alors 2a est MAUVAIS
preuve : si a est bon alors 2a est le double d'un bon donc 2a est mauvais
Merci de valider ce raisonnement entièrement inspiré du vôtre (MERCI).
Il y a une petite chose qui m'échappe :
dans quelle mesure, la règle "tout entier naturel non nul est soit bon, soit mauvais" a-t-elle servi ?
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Invité
nombre bon et mauvais
A propos de votre raisonnement qui utilise la décomposition de tout entier N en produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair k, vous m'avez entièrement convaincu à ceci près, que je n'arrive pas à démontrer la décomposition ci-dessus sur laquelle repose pourtant tout le raisonnement.
Si N est impair, il suffit de prendre p=0 mais si N est pair ?
Merci à vous pour cette nouvelle façon d'aborder l'exercice.
Eric
Si N est impair, il suffit de prendre p=0 mais si N est pair ?
Merci à vous pour cette nouvelle façon d'aborder l'exercice.
Eric
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SoS-Math(4)
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
bonsoir,
je réponds à vos deux messages en même temps.
Votre raisonnement par l'absurde :
Vous avez supposé : Le produit de deux bons est mauvais
Ce qui s'écrit plus rigoureusement( la rigueur est essentielle ici) :
si n et p sont des entiers bons quelconques alors np est mauvais.
Le raisonnement par l'absurde a montré que ce résultat est faux. Donc c'est son contraire qui est juste.
Or le contraire n'est pas : le produit de deux bons est bons
ou dit plus mathématiquement : si n et p sont des entiers bons quelconques alors np est bon.
Le contraire est : Il existe des couples de bons dont le produit est bon
ce qui n'est pas du tout la même chose, et celà fait capoter le raisonnement.
Je reviens à mon raisonnement, que j'ai fais d'ailleurs grace à vous et à votre idée de base 2. En effet : En base 2, se terminer par un nombre impair de zéros équivaut à : être divisible par 2^p, avec p impair.
Ce résultat est facile à démontrer, mais il vaut mieux avoir étudier la numération et donc être en TS spécialité Maths. Il suffit d'écrire le nombre sous forme d'une somme de puissances de 2....
Quant à la décomposition que j'ai donné, pour un nombre pair N , on décompose N en produits de facteurs premiers et tout s'arrange.
Cas particulier, si N est une puissance de 2, alors k=1. ex : 16=(2^4) x 1
Voilà j'espère que ce message va vous aider, et vous fera progresser en logique.
En quelle classe êtes vous, 1ère S je suppose.
sosmaths.
je réponds à vos deux messages en même temps.
Votre raisonnement par l'absurde :
Vous avez supposé : Le produit de deux bons est mauvais
Ce qui s'écrit plus rigoureusement( la rigueur est essentielle ici) :
si n et p sont des entiers bons quelconques alors np est mauvais.
Le raisonnement par l'absurde a montré que ce résultat est faux. Donc c'est son contraire qui est juste.
Or le contraire n'est pas : le produit de deux bons est bons
ou dit plus mathématiquement : si n et p sont des entiers bons quelconques alors np est bon.
Le contraire est : Il existe des couples de bons dont le produit est bon
ce qui n'est pas du tout la même chose, et celà fait capoter le raisonnement.
Je reviens à mon raisonnement, que j'ai fais d'ailleurs grace à vous et à votre idée de base 2. En effet : En base 2, se terminer par un nombre impair de zéros équivaut à : être divisible par 2^p, avec p impair.
Ce résultat est facile à démontrer, mais il vaut mieux avoir étudier la numération et donc être en TS spécialité Maths. Il suffit d'écrire le nombre sous forme d'une somme de puissances de 2....
Quant à la décomposition que j'ai donné, pour un nombre pair N , on décompose N en produits de facteurs premiers et tout s'arrange.
Cas particulier, si N est une puissance de 2, alors k=1. ex : 16=(2^4) x 1
Voilà j'espère que ce message va vous aider, et vous fera progresser en logique.
En quelle classe êtes vous, 1ère S je suppose.
sosmaths.
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Invité
les bons et les mauvais
Merci de m'avoir éclairé sur mon erreur de raisonnement que je n'aurais jamais découverte tout seul !
Ainsi si je fais une petite synthèse de cet exercice :
si A implique B alors NON B implique NON A
La négation de A implique B est : il existe au moins un élément vérifiant A mais tel que B est faux
prop1 : tous les nombres mauvais sont pairs
prop2 : tous les nombres impairs sont bons
prop3 : si x est bon alors 2x est mauvais
prop 4 : si x est mauvais alors 2x est bon
N'y a-t-il donc pas moyen, à partir de là, de faire un raisonnement "pur" ?
Bien que je sois en 1S, il y a quelque chose que j'aimerais comprendre dans votre équivalence en base 2 : je conçois la première implication, à savoir : si un nombre en base 2 se termine par un nombre impair de 0 alors il est divisible par 2puissancep où p est impair mais je ne comprends pas la réciproque. En effet le nombre 10000 (en base 2) est divisible par 2puissance3 avec 3 impair et pourtant il se termine par un nombre pair de 0. J'espère que je ne me trompe pas en prenant 10000(en base 2) = 16 (en base 10).
Enfin, je suis désolé mais je ne comprends toujours pas pourquoi un nombre pair s'écrit comme le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair, en décomposant en produits de facteurs premiers.
Merci infiniment pour votre écoute et votre aiguillage précieux.
Eric
Ainsi si je fais une petite synthèse de cet exercice :
si A implique B alors NON B implique NON A
La négation de A implique B est : il existe au moins un élément vérifiant A mais tel que B est faux
prop1 : tous les nombres mauvais sont pairs
prop2 : tous les nombres impairs sont bons
prop3 : si x est bon alors 2x est mauvais
prop 4 : si x est mauvais alors 2x est bon
N'y a-t-il donc pas moyen, à partir de là, de faire un raisonnement "pur" ?
Bien que je sois en 1S, il y a quelque chose que j'aimerais comprendre dans votre équivalence en base 2 : je conçois la première implication, à savoir : si un nombre en base 2 se termine par un nombre impair de 0 alors il est divisible par 2puissancep où p est impair mais je ne comprends pas la réciproque. En effet le nombre 10000 (en base 2) est divisible par 2puissance3 avec 3 impair et pourtant il se termine par un nombre pair de 0. J'espère que je ne me trompe pas en prenant 10000(en base 2) = 16 (en base 10).
Enfin, je suis désolé mais je ne comprends toujours pas pourquoi un nombre pair s'écrit comme le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair, en décomposant en produits de facteurs premiers.
Merci infiniment pour votre écoute et votre aiguillage précieux.
Eric
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SoS-Math(10)
Bonsoir,
Tout nombre s'ecrit comme produit d'une puissance de 2 et d'un nb impair.
Une démarche possible: Prenons un nombre n soit il est impair et on a : n = \(2^0*n\) soit il est pair et on peut le diviser par 2 on obtient : n = 2p où p est un entier. et on recommence avec p jusqu'à obtenir 1.
sos math
La reciproque est fausse. en effet si 8 divise un entier a alors 4 divise a et 2 divise a.je conçois la première implication, à savoir : si un nombre en base 2 se termine par un nombre impair de 0 alors il est divisible par 2puissancep où p est impair mais je ne comprends pas la réciproque. En effet le nombre 10000 (en base 2) est divisible par 2puissance3 avec 3 impair et pourtant il se termine par un nombre pair de 0. J'espère que je ne me trompe pas en prenant 10000(en base 2) = 16 (en base 10).
Tout nombre s'ecrit comme produit d'une puissance de 2 et d'un nb impair.
Une démarche possible: Prenons un nombre n soit il est impair et on a : n = \(2^0*n\) soit il est pair et on peut le diviser par 2 on obtient : n = 2p où p est un entier. et on recommence avec p jusqu'à obtenir 1.
sos math
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Invité
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Invité
Je veux dire par là la chose suivante : n'est-il pas possible de trouver une solution par un type de raisonnement similaire à celui que vous avez utilisé tout au début ( la première fois que vous m'avez répondu), c'est-à-dire une solution qui ne fait pas intervenir de preuve par récurrence (notion non abordée en 1S ou tout au moins je ne l'ai pas encore étudiée jusqu'à présent ), ni de décomposition en base 2 ( pas au programme de 1S). J'ai cherché, après avoir bien compris l'erreur de raisonnement que j'avais faite, à trouver une solution de ce type mais je n'aboutis à rien. Est-ce normal ?
Même si je dispose déjà de deux solutions grâce à vous, j'aimerais en avoir une qui n'utilise que les notions abordées jusqu'en 1S.
Merci pour cet échange très fructueux.
Très cordialement, Eric
Même si je dispose déjà de deux solutions grâce à vous, j'aimerais en avoir une qui n'utilise que les notions abordées jusqu'en 1S.
Merci pour cet échange très fructueux.
Très cordialement, Eric
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SoS-Math(2)
- Messages : 2177
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:03
Bonjour,
vos propositions P1 à P4 sont correctes
Vous pouvez peut-être utiliser cette piste :
commencer en remarquant que un bon est soit un impair soit 2*un mauvais
puis en détaillant les trois cas suivants:
bon * bon = impair * impair
bon * bon = impair * 2 * mauvais
bon * bon = 2*mauvais * 2 * mauvais
A vos crayons...
vos propositions P1 à P4 sont correctes
Vous pouvez peut-être utiliser cette piste :
commencer en remarquant que un bon est soit un impair soit 2*un mauvais
puis en détaillant les trois cas suivants:
bon * bon = impair * impair
bon * bon = impair * 2 * mauvais
bon * bon = 2*mauvais * 2 * mauvais
A vos crayons...
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Invité
J'arrive à régler le premier cas :
BON*BON = IMPAIR*IMPAIR puisque le produit de deux nombres impairs est impair (preuve : si x et y sont impairs alors il existe k et k' entiers tels que x=2k + 1 et y=2k' + 1 d'où kk' = 4kk' + 2k + 2k' +1 = 2(2kk' +k + k') + 1 qui est de la forme 2*(un entier) + 1 donc est impair ) et que nous savons que tout nombre impair est nécessairement bon (prop 2). Dans ce cas BON*BON = BON.
Deuxième cas : BON*BON=IMPAIR*2*MAUVAIS
(2k+1)*2*MAUVAIS = ????
J'ai essayé les trois regroupements possibles par commutativité puis associativité du produit mais le résultat étant pair, tout dépend de la puissance de 2. Je suis coincé.
Merci pour votre aide à venir.
BON*BON = IMPAIR*IMPAIR puisque le produit de deux nombres impairs est impair (preuve : si x et y sont impairs alors il existe k et k' entiers tels que x=2k + 1 et y=2k' + 1 d'où kk' = 4kk' + 2k + 2k' +1 = 2(2kk' +k + k') + 1 qui est de la forme 2*(un entier) + 1 donc est impair ) et que nous savons que tout nombre impair est nécessairement bon (prop 2). Dans ce cas BON*BON = BON.
Deuxième cas : BON*BON=IMPAIR*2*MAUVAIS
(2k+1)*2*MAUVAIS = ????
J'ai essayé les trois regroupements possibles par commutativité puis associativité du produit mais le résultat étant pair, tout dépend de la puissance de 2. Je suis coincé.
Merci pour votre aide à venir.