Suite

[Maxime]

Bonsoir
j'ai un dm de maths mais je ne trouve pas les solutions pour a, b, c.
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment je dois faire ? Merci beaucoup.

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathéque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total. Pour l'ouverture prévue le 1 er janvier 2023, la médiathéque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque.
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages trop vieux ou abimés, et d'acheter 4 000 ouvrages neufs.
On appelle Vn le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2023+n)

1. Justifier que pour tout n E N, Vn+1 = Vn x 0,95 + 4. Préciser la valeur de Vo.
On considère la suite (Wn) définie, pour tout entier n, par Wn = Vn - 80

a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison q=0,95 et préciser son premier terme Wo.
b) Donner alors le terme général de Wn.
c) En déduire que , pour tout entier naturel n:Vn = -45 x (0,95)puissance n + 80

Merci pour votre aide

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Maxime,

Pour montrer que la suite \((W_n)\) est une suite géométrique de raison q=0,95, il faut réussir à obtenir une expression par récurrence du type : \(W_{n+1}=q \times W_n\).
Pars de la définition : \( W_n = V_n - 80\) et réécris cette égalité au rang \(n+1\).
Ensuite utilise la définition de la suite \((V_n)\) : \(V_{n+1} = V_n \times 0,95 + 4\) et remplace \(V_{n+1} \) par cette expression dans l'écriture de \(W_{n+1}\). Travaille l'expression pour arriver à ce que tu cherches...
Je te laisse commencer le travail et n'hésite pas à revenir vers nous.
Bon courage.

[Maxime]

J'ai trouvé W(n+1) = (U(n) x 0,95 + 4) - 80 Mais je n'est pas compris comment je pourrais développer la suite

[SoS-Math(7)]

C'est un bon début. \(W_{n+1} = (U_n \times 0,95 + 4) - 80 \)
Il te faut maintenant "travailler" cette expression de \(W_{n+1} \) pour obtenir une expression du type \( W_{n+1}=q×W_n\)...
Il y a des calculs que tu peux simplifier, éventuellement procéder à une factorisation,...

Je te laisse chercher.

[Maxime]

Je ne comprends pas comment je pourrais factoriser cette suite ?

[SoS-Math(7)]

Re bonsoir,

\(W_{n+1} = (U_n \times 0,95 + 4) - 80 \), commence par enlever les parenthèses et simplifie l'expression en faisant certains calculs simples...
Tu pourras ensuite réfléchir à une factorisation pour faire "apparaitre" la raison \(q\) et le terme \(W_n\)

Bon courage.

[Maxime]

J'ai trouvé 0,95 U(n) -76

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Il ne te reste qu'à factoriser par 0,95...
Prends le temps ensuite de reprendre la démarche que nous avons faite pas à pas.

Bonne soirée

[Maxime]

Merci
en factorisant je trouve 0,95(Un-80)

[Maxime]

Merci
pour la factorisation 0,95 (Un-80)

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Ta factorisation est correcte.

Ce qui va te permettre de dire que W(n+1) = ...... x Wn et de montrer que la suite est géométrique de raison 0, 95.

Tu utiliseras ensuite la formule pour une suite géométrique de raison q qui te permet d'exprimer Wn en fonction de W0 et de la raison.

Bonne continuation

Sos math.