Fonction injective

[Jean]

Bonsoir j'ai un exercice que je bloque.
Soit f:R vers R tel que f(x)=√(4-x²).
Démontre en utilisant l'équation f(x)=y avec y appartenant à R que f est injective.
J'ai fait et j'ai eu
f(x)=√(4-x²)=y
4-x²=y²
-x²= y²-4
x²=-y²+4
Arrivée ici je bloqué et je ne sait pas comment poursuivre.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Jean,
es tu sur que la fonction est défini de \(R\) vers \(R\) et de \(R^+\) vers \(R^+\)
SoS-math

[Jean]

Oui c'est de R vers R et on demande de justifier si la fonction f est elle injective en justifiant notre réponse

[sos-math(21)]

Bonjour,
Une fonction \(f\) est injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par \(f\), ce qui revient à dire que deux éléments distincts de son ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même image par \(f\).
Pour ta fonction, \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\), celle-ci n'est pas injective car, par exemple \(-1\) et \(1\) ont la même image \(\sqrt{3}\).
Es-tu sûr de ton énoncé ? Comme mon collègue, je suis un peu gêné par la fonction définie \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) car celle-ci est en fait définie sur \([-2\,;\,2]\).
Bonne continuation

[Jean]

Je pense que c'est erreur la fonction est bien défini de R± vers R+ dans ce cas
Si on prend deux nombres réels a et b appartenant à l'ensemble de départ. On aura f(a)=f(b) équivaut à √(4-a²)=√(4-b²)=4-a²=4-b²=a²=b²=a=b.
Dans ce cas peut on dire que la fonction est injective ?

[sos-math(21)]

Bonjour
Si tu travailles dans l’intervalle \([0\,;\,2]\) alors la fonction est bien injective car l’équation
\(f(x)=f(x’)\) est bien équivalente à \(x=x’\)
Bonne continuation