congruence DM

[Louis]

Bonsoir, je dois montrer qui si un nombre premier est congru a 1 modulo 3 alors il est aussi congru a 1 modulo 6.
J'ai déjà montré qu'un nombre premier peut seulement être congru à 1 ou -1 modulo 6.
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux faire un raisonnement par l'absurde en supposant que \(p\equiv 5\,[6]\) (c'est comme congru à - 1).
Cela signifie qu'il existe un entier \(k\), tel que \(p=6k+5=3(2k+1)+2\), ce qui prouve que \(p\equiv 2\,[3]\) et qui contredit l'hypothèse faite sur \(p\).
Donc on ne peut pas avoir \(p\equiv 5\,[6]\), donc il reste \(p\equiv 1\,[6]\)
Bonne continuation

[Louis]

Bonjour j'ai pas compris pourquoi on suppose p=5[6]? et non 2,3 4

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu avais dit dans ton premier message que tu avais réussi à prouver que \(p\) était congru à \(-1\) ou à \(1\) modulo 6.
Je me suis donc basé sur ce que tu avais obtenu et j'ai essayé d'éliminer la congruence à \(-1\). Par l'absurde, j'ai supposé que \(p\equiv -1\,[6]\) ce qui est équivalent à \(p\equiv 5\,[6]\).
On avait obtenu que cette hypothèse menait à une contradiction donc il reste comme seule congruence \(p\equiv 1\,[6]\), ce qu'il fallait démontrer.
Es-tu d'accord avec moi ?
Bonne continuation

[Thomas]

Bonjour
On peut le faire directement
Si p congru à 1 modulo 3 alors il existe k entier tel que p=1+3k
Comme p est premier k est pair =2k'
Donc p=1+3*2k'= 1+6k' avc k' entier pair ou impair.
Alors p est congru 1 modulo 6.

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai publié le message qui propose une autre méthode (plus directe) pour prouver la congruence modulo 6.
Merci pour la contribution et bonne continuation